Álgebra de mentiras generada por elementos del grupo simétrico$S_N$

Question

Para cualquier grupo de $G$, el grupo de álgebra $\mathbb{C}(G)$ se define como el conjunto de todos formal de las combinaciones lineales de los elementos de $G$: $\mathbb{C}(G)=\{c_1g_1+c_2g_2+\ldots+c_n g_n|c_i\in \mathbb{C},g_i\in G\}$. La multiplicación en $\mathbb{C}(G)$ es inducida por la multiplicación del grupo de $G$ y se extiende a $\mathbb{C}(G)$ por la linealidad. De manera similar, se puede definir un "grupo de álgebra de la Mentira" $\mathfrak{L}(G)=\{c_1g_1+c_2g_2+\ldots+c_n g_n|c_i\in \mathbb{C},g_i\in G\}$, que es el mismo que $\mathbb{C}(G)$ como lineal del espacio vectorial, pero en $\mathfrak{L}(G)$ sólo la Mentira soporte de $[,]:\mathfrak{L}(G)\times \mathfrak{L}(G)\to \mathfrak{L}(G)$ se define, para ser el colector en $\mathbb{C}(G)$, es decir, $[l_1,l_2]=l_1\cdot l_2-l_2\cdot l_1$, donde "$\cdot$" es la multiplicación en $\mathbb{C}(G)$. Mi problema es determinar la estructura de la Mentira álgebra $\mathfrak{L}(G)$ para el grupo simétrico $G=S_N$.

Tomemos $S_3$ como un ejemplo. Desde $|S_3|=6$, el grupo de álgebra $\mathbb{C}(S_3)$ de $S_3$ es de 6 dimensiones, distribuido por $\{1,P_{12},P_{23},P_{13},P_{12}P_{23},P_{23}P_{12}\}$. Es fácil ver que $\{1,I,I^2\}$ son elementos centrales (es decir, conmuta con todo lo en $\mathbb{C}(S_3)$), donde $I=P_{12}+P_{23}+P_{13}$. Las 3 dimensiones de la subespacio ortogonal a estos elementos centrales es atravesado por $\{P_{12}-P_{23},P_{12}-P_{13},[P_{12},P_{23}]\}$, que es una de las $\mathfrak{su}(2)$ Mentira álgebra, su relación con el giro de los generadores son $$P_{12}-P_{23}=\sqrt{6}(s_x-s_y),~~P_{12}-P_{13}=\sqrt{6}(s_x-s_z),~~[P_{12},P_{23}]=2i(s_x+s_y+s_z),$$ donde $[s_i,s_j]=i\epsilon_{ijk}s_k$. Por lo tanto llegamos a la conclusión de que $\mathfrak{L}(S_3)=\mathfrak{u}(1)^3\oplus \mathfrak{su}(2)$.

Pero cuando se trata de determinar la estructura de $\mathfrak{L}(S_N)$ arbitrarias $N$, este tipo de fuerza bruta de cálculo parece no tener esperanza. Yo no sé ni la estructura de $\mathfrak{L}(S_4)$. Para grandes $N$, quiero saber esto: si $\mathfrak{L}(S_N)$ es una suma directa de simple álgebras de Lie, vamos a $d_N$ ser la dimensión de sus mayores irreductible(simple) componente (por ejemplo, $d_3=3$). No $d_N$ crecer de manera algebraica rápido o de forma exponencial rápido con $N$?

Cualquier sugerencias, consejos o referencias pertinentes, serán bienvenidos. Gracias.

Answer 1

$\newcommand{\fru}{\mathfrak{u}} \newcommand{\frsu}{\mathfrak{ub}} \newcommand{\frgl}{\mathfrak{gl}} \newcommand{\frsl}{\mathfrak{sl}} \newcommand{\frL}{\mathfrak{L}} \newcommand{\End}{\operatorname{End}} \newcommand{\KG}{K\left[G\right]} \newcommand{\CC}{\mathbb{C}} \newcommand{\LG}{\mathfrak{L}\left(G\right)}$ Sí. Para cada una de las $N \geq 0$, tenemos $\frL\left(S_N\right) \cong \bigoplus\limits_{\lambda \vdash N} \left( \frsu\left(\dim V_\lambda\right) \oplus \fru\left(1\right) \right)$, donde la suma directa es a través de todas las particiones $\lambda$ de $N$, y donde la $V_\lambda$ denota la Specht módulo correspondiente a la partición de $\lambda$.

Pero esto no es realmente específicos para los grupos simétricos. De manera más general, podemos responder a esta pregunta para cualquier grupo finito $G$ si sabemos de su teoría de la representación.

Así que vamos a $G$ ser un grupo finito, y deje $K$ ser un campo de característica $0$ más que $G$ se divide. (Es suficiente, pero no necesaria, para tomar $K = \CC$.)

Para cada una de las $K$-álgebra $A$, dejamos $A^-$ ser la Mentira de álgebra en la $K$-espacio vectorial $A$ cuyo Mentira soporte es el colector de $A$. Por lo tanto, lo que usted llame a $\frL\left(G\right)$ es sólo $\left(\CC\left[G\right]\right)^-$.

Desde el campo de $K$ tiene características de las $0$, tenemos \begin{equation} \frgl\left(m\right) \cong K^- \oplus \frsl\left(m\right) \label{darij1.eq.gl-sl} \tag{1} \end{equation} (un isomorfismo de $K$-álgebras de Lie) para cada entero positivo $m$.

Deje $V_i$ (con $i$ ejecución sobre algunos finito de indexación conjunto $I$) todas las representaciones irreducibles de $G$ sobre $K$ (hasta el isomorfismo, sin repeticiones). Teorema 4.1.1 (ii) en Pavel Etingof, Oleg Golberg, Sebastián Hensel, Tiankai Liu, Alex Schwendner, Dmitry Vaintrob, y Elena Yudovina, Introducción a la teoría de la representación, Estudiante de Matemáticas de la Biblioteca de #59, AMS 2011 muestra que $\KG \cong \bigoplus\limits_{i \in I} \End \left(V_i\right)$ como $K$-álgebras. Por lo tanto, \begin{align} \left(\KG\right)^- &\cong \left(\bigoplus\limits_{i \in I} \End \left(V_i\right)\right)^- \cong \bigoplus\limits_{i \in I} \underbrace{\left(\Final \left(V_i\right)\right)^-}_{= \frgl\left(V_i\right) \cong \frgl\left(\dim V_i\right) } \\ &\cong \bigoplus\limits_{i \in I} \underbrace{\frgl\left(\dim V_i\right) }_{\substack{\cong K^- \oplus \frsl\left(\dim V_i \right) \\ \text {(\eqref{darij1.eq.gl-sl})}}} \cong \bigoplus\limits_{i \in I} \left( K^- \oplus \frsl\left(\dim V_i \right) \right) . \label{darij1.eq.gen-formulario} \etiqueta{2} \end{align}

Cuando $G$ es el grupo simétrico $S_N$, podemos tomar $I$ a ser el conjunto de todas las particiones $\lambda$ de $N$ (este es un hecho bien conocido de la teoría de la representación de grupo simétrico; véase, por ejemplo, §5.12 en op. cit.), y las correspondientes representaciones irreducibles $V_\lambda$ son los llamados Specht módulos. Para cada partición $\lambda$ de $N$, la dimensión de $\dim V_\lambda$ tiene una bonita expresión se llama el gancho-longitud de la fórmula (§5.17 en op. cit.), y hay una base de $V_\lambda$ indexados por el estándar de cuadros de la forma $\lambda$ (véase, por ejemplo, la Marca de Wildon, teoría de representaciones del grupo simétrico, 2014).

A la luz de esto, \eqref{darij1.eq.gen-formulario} (aplicado a $G = S_N$) se convierte en \begin{align} \left(K\left[S_N\right] \right)^- \cong \bigoplus\limits_{\lambda \vdash N} \left( K^- \oplus \frsl\left(\dim V_\lambda \right) \right) . \end{align} Cuando $K = \CC$, más reescribe como \begin{align} \left(\CC \left[S_N\right]\right)^- \cong \bigoplus\limits_{\lambda \vdash N} \left( \underbrace{\CC^-}_{\cong \fru\left(1\right)} \oplus \underbrace{\frsl\left(\dim V_\lambda \right)}_{\cong \frsu\left(\dim V_\lambda\right)} \right) \cong \bigoplus\limits_{\lambda \vdash N} \left( \fru\left(1\right) \oplus \frsu\left(\dim V_\lambda\right) \right) . \end{align} Por lo tanto, \begin{align} \frL\left(S_N\right) = \left(\CC \left[S_N\right]\right)^- \cong \bigoplus\limits_{\lambda \vdash N} \left( \fru\left(1\right) \oplus \frsu\left(\dim V_\lambda\right) \right) \cong \bigoplus\limits_{\lambda \vdash N} \left( \frsu\left(\dim V_\lambda\right) \oplus \fru\left(1\right) \right) . \end{align} Esto es exactamente mi reclamación.