¿Cómo extender una teoría de Chern-Simons al conjunto de potenciales singularidades potenciales?

Question

De acuerdo a la ref.1 (§A. 3), la ingenua definición de Chern-Simons $$ S[a]=k\int_M \mathrm{CS}[A]\etiqueta{A. 17} $$ está mal definido, debido a que $A$ puede tener "Dirac cadena de singularidades". La solución es extender $M$ a granel, de tal manera que $M=\partial X$, y definir $$ S[a]=k\int_X c(F)\etiqueta{A. 18} $$ con $c$ el Chern forma de $F=\mathrm dA$. Se argumenta que, a condición de $k$ se cuantifica correctamente, esta integral es independiente de la $X$ y de la extensión de $A$.

Pero, ¿cómo este procedimiento de revisión de "potencial de Dirac de la cadena de singularidades"? Estamos integrando sobre toda la $A$, y por tanto tendremos singular configuraciones independientemente de si utilizamos $\mathrm A.17$ o $\mathrm A.18$. ¿Cómo se extiende $A$ en el volumen de ayudar a eliminar estos singular configuraciones?

Las referencias.

1. N. Seiberg, E. Witten, con Abertura Límite de las Fases de los Aislantes Topológicos a través de Acoplamiento Débil, https://arxiv.org/abs/1602.04251.

Answer 1

Si los tres-colector $M$ contiene dos colector $\Sigma$ tales que la intensidad de campo $F$ es suave en $\Sigma$ pero

$$ \int_\Sigma F \neq 0 \ , $$

entonces no podemos encontrar una suave $A$ a $\Sigma$ tal que $F = d A $. el Chern-Simons densidad

$$ CS[A] \sim A \wedge F $$

contiene el bien definidas $F$, pero también el mal definidas $A$, por lo que no es claro si el integral tiene sentido.

Por otro lado, el cuadrado de la primera forma de Chern

$$ c(F) \sim F \wedge F $$

es bien definido, incluso en la presencia de los monopolos, así que se puede integrar. Para el estrés: la singular $A$ todavía están integrados, pero que dan un resultado finito.