Una solución exacta es posible con el método de los polinomios de rook y un sistema de álgebra computacional. Polinomio de la torre
En primer lugar, ayuda reformular un poco el problema para que la solución por polinomios de torre sea más fácil de visualizar. Así que supongamos que antes de barajar, la baraja está en el orden as de diamantes, as de tréboles, as de corazones, as de picas, as de diamantes, 2 de tréboles, 2 de corazones, 2 de picas, 2 de diamantes, etc., y supongamos que el en lugar de gritar "uno, dos, tres, ..." , el jugador grita "uno, uno, uno, uno, dos, dos, dos, ...". Como el mazo se baraja al azar, esta revisión no afecta a la probabilidad de ganar. Con esta formulación, el jugador gana si no hay ningún as en las cartas 1-4 del mazo barajado y ningún 2 en las cartas 5-8 y ningún 3 en las cartas 9-12, etc. Como el mazo barajado puede estar formado por cualquiera de las $52!$ permutaciones posibles del orden original, todas las cuales suponemos que son igualmente probables, nos gustaría contar las permutaciones que resultan en una victoria.
Para utilizar el método de los polinomios de las torres, consideramos que una permutación de las cartas equivale a colocar 52 torres no atacantes en un tablero de 52 por 52, es decir, con exactamente una torre en cada fila y columna. Las permutaciones ganadoras corresponden a una colocación de las torres en el tablero evitando las casillas grises. Por razones de espacio, sólo hemos mostrado las doce primeras filas y columnas, pero imagine que el patrón se extiende a un tablero de 52 por 52.
![Restricted Board]()
...más 40 filas y columnas más (no mostradas).
El polinomio de la torre del cuadrado gris de 4 por 4 de la esquina superior izquierda es $$R_4(x) = 1+16x+72x^2+96x^3+26x^4$$ (Véase la página de Wikipedia enlazada más arriba.) Lo que esto significa es que hay $16$ maneras de colocar una torre en el área, $72$ formas de colocar dos torres no atacantes, $96$ formas de colocar tres torres no atacantes, y $26$ formas de colocar cuatro torres no atacantes.
El polinomio de la torre del área restringida en el tablero de 52 por 52, que consta de 13 casillas de 4 por 4, es entonces $$R_{52}(x) = R_4(x)^{13} = r_0 + r_1x +r_2x^2 +r_3x^3+ \dots + r_{52}x^{52}$$ donde los coeficientes $r_0, r_1, r_2, r_3, \dots , r_{52}$ no aparecen en la lista, pero pueden calcularse explícitamente expandiendo $R_4(x)^{13}$ . Esto sería muy tedioso de hacer a mano, pero es fácil con un sistema de álgebra computacional. (Yo usé Mathematica.) Por el principio de inclusión/exclusión, el número de maneras de colocar 52 torres no atacantes en el área no excluida del tablero es $$N = \sum_{i=0}^{52} (-1)^i (52-i)! \;r_i$$ El resultado, calculado por Mathematica, es $$N = 1309307359844999263426548962125482317263708526033413008220015566848$$ por lo que la probabilidad de ganar el juego es $$\frac{N}{52!} = 0.0162328$$
