Me estoy refiriendo al problema A6 del 2017 Putnam de la competencia , la pregunta es "¿cuántas formas existen de colores para el etiquetado de los bordes de un icosaedro de tal forma que cada cara tiene dos aristas de un mismo color y un borde de otro color, donde los colores son rojo, blanco o azul?".
Mi solución es la siguiente: considerar la representación planar de la icosaedro:
Tenga en cuenta que:
Hay 18 formas de color de los bordes de un triángulo que tiene dos bordes del mismo color y un borde de otro color (3 opciones para el color que aparece dos veces, 2 opciones para el color que aparece una vez, y 3 opciones para el acuerdo).
Dada la coloración en cualquier uno de los bordes de un triángulo, hay 6 formas de color de los bordes restantes de una manera que satisface la condición (WLOG supongamos que el borde dado es blanco, entonces uno de los otros borde es de color blanco (y el otro borde es de color rojo o azul), que tiene 4 posibilidades, una o ambas de las otras aristas del mismo color, el rojo o el azul, que es posible en 2 formas.
Dada la coloración en dos aristas de un triángulo, hay 2 formas de colores para el borde restante en una manera que satisfaga la condición. WLOG, dado que los bordes son de color "R R" o "R B". Si es "R", el 2 maneras de elegir el otro extremo están "W" y "B", si es "R B", el 2 maneras de elegir el otro extremo están "R" y "B".
Así que hay 18 maneras de elegir la coloración en el triángulo central (en el caso base) de la representación planar, y usted puede escribir el número de formas de colores para cada una de las sucesivas ", que contiene triángulo" como $6^32^3$ multiplicado por el pequeño triángulo que contiene, por lo que el número de formas de color todo el icosaedro debe ser:
$$18(6^32^3)^3=2^{19}3^{11}$$
Por desgracia, la solución oficial (p. 5) presenta una respuesta de $2^{20}3^{10}$ -- me voy por un factor de $2/3$! ¿Qué está pasando? ¿Qué hice mal?
