¿Si una función es continua en todas partes, pero sin definir en un punto, es todavía continua?

Question

Esta es una pregunta con respecto a la definición de continuidad.

Mi comprensión de la continuidad es que una función es continua en un punto es cuando se sostiene que $$\lim_{x\to a^-}f(x) = f(a) = \lim_{x\to a^+}f(x) \quad \quad (1)$$

El libro que estoy leyendo actualmente tiene esta imagen:

Tenga en cuenta que $f(x)$ es definido por $x=3$, pero $g(x)$ no lo es.

Esto es seguido por un texto que indica que

g(x) es continua debido a $D_g = [0, 6]\text{\\}\{3\}$, por lo tanto es continua para todos los valores de su dominio.

Mi punto de discusión aquí es que, ¿cómo podemos decir que es continua en a$x=3$ cuando $g(3)$ no existe? Refiriéndose a la definición antes mencionada $(1)$ que los límites que convergen al valor real en este momento.

Yo inmediatamente habría declarado en ambos casos, como discontinuidades de salto.

Estoy confundido aquí? No $g(x)$ ilustrar una excepción a $(1)$?

Answer 1

$G$ es continuo en el dominio $[0,3)\cup(3,6]$ .

Refiriéndose a la definición (1) mencionada anteriormente, los límites convergen al valor real en este punto.

3 no está en el dominio Para cada punto en el dominio de $g$ , tenemos la convergencia requerida.

Answer 2

La función es continua en todo el intervalo, excepto en el punto eliminado del dominio, es más un matiz del idioma que cualquier otra cosa. Elija cualquier punto que no sea $3$ en ese intervalo: luego puede encontrar los límites de la mano izquierda y derecha en ese punto y mostrar que son iguales.