Dos definiciones de un proyectivo

Question

En Hartshorne de la Geometría Algebraica, página 103, una de morfismos $f: X \rightarrow Y$ se dice es proyectivo si factores como cerrado inmersión $X \rightarrow {\bf P}^n_Y$ seguido por la proyección de ${\bf P}^n_Y \rightarrow Y$. Como se señaló allí, EGA II, 5.5 tiene otra definición, es decir, $f$ es proyectivo si factores como cerrado inmersión $X \rightarrow {\bf P}(\cal E)$ seguido por el mapa de proyección, donde $\cal E$ es finitos de tipo cuasi-coherentes ${\cal O}_Y$-módulo.

Hartshorne estados sin prueba ni referencia que las dos definiciones son equivalentes en el caso de $Y$ sí es cuasi-proyectiva a través de un esquema afín".

Mi pregunta es: ¿alguien sabe de una prueba o una referencia para esta afirmación? Y si no: ¿es correcto?

Answer 1

Definitivamente, si $X$ es "Hartshorne-proyectiva" es también "EGA-proyectiva" (tome $\mathcal{E}$ a ser un bundle gratis de rango $n+1$). La dirección opuesta es verdadero si cualquier coherente gavilla a nivel mundial es generado por un finito-dimensional espacio vectorial de las secciones después de una cierta línea de paquete de giro; de hecho, si $V$ genera $\mathcal{E} \otimes L$ entonces el surjection $V \otimes \mathcal{O}_Y \to \mathcal{E} \otimes L$ induce un cerrado de incrustación $$ \mathbb{P}(\mathcal{E}) = \mathbb{P}(\mathcal{E} \otimes L) \to \mathbb{P}(V \otimes \mathcal{S}_Y) = \mathbb{P}^n_Y. $$ Así, por ejemplo, si $Y$ satisface razonables condiciones de finitud y admite una amplia línea de paquete, las definiciones son equivalentes.