Teorema del resto cuasi chino para módulos

Question

Dejemos que $R$ sea un anillo. El teorema chino del resto afirma que si $J_1,\ldots,J_n\lhd R$ son ideales coprimos bilaterales (es decir $J_i+J_k=R,\ \forall i\neq k$ ) entonces el mapa $$\varphi:a\in R\longmapsto (a+J_1,\dots,a+J_n)\in R/J_1\oplus\dots\oplus R/J_n$$ es un morfismo de anillo suryente, tal que $$\ker (\varphi)=\displaystyle \bigcap _{1\leq i\leq n} J_i.$$ Así pues, tenemos un isomorfismo de anillo (y por tanto un $R$ -isomorfismo de módulo) $$R/\bigcap_{1\leq i\leq n} J_i\simeq R/J_1\oplus\dots\oplus R/J_n.$$ En la demostración, el hecho de que los ideales sean bilaterales se utiliza no sólo para dar sentido al cociente del anillo $R/J_i$ . Así que estoy preguntando si podría extender el teorema para obtener una módulo isomorfismo en lugar de uno de anillo en el siguiente sentido:

Dejemos que $R$ sea un anillo no conmutativo (el caso conmutativo es de hecho el propio Teorema Chino del Resto) y $J_1,\dots,J_n\subset R$ sea a la izquierda ideales tales que $J_i+J_k=R$ si $i\neq k$ . Dejemos que $R/J_i$ sea el módulo cociente de $R$ módulo de la izquierda $R$ -submódulo $J_i$ . Entonces el mapeo $\varphi$ (definida más arriba) es un suryecto $R$ -morfismo de módulo.

El problema surgió al intentar demostrar (o refutar) que cualquier dimensión finita $k$ -tiene sólo un número finito de módulos simples de izquierda hasta el isomorfismo. Si el teorema de generalización de módulos sostiene, entonces he demostrado este hecho.

Answer 1

La respuesta que sigue no es más que una versión detallada de mis comentarios al puesto original.

Su conjetura (que $\varphi$ es sobreyectiva) es verdadera para cada $n\leq2$ pero falso para cada $n\geq3$ . Permítanme demostrarlo. En primer lugar, permítanme demostrar que es cierto para $n=2$ (en aras de la exhaustividad, sé que tienes una prueba):

Propuesta 1. Dejemos que $R$ sea un anillo (no conmutativo, asociativo, unital). Sea $U$ y $V$ sean dos ideales izquierdos de $R$ tal que $U+V=R$ . Dejemos que $\varphi:R\rightarrow\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right)$ sea el mapa que envía cada $r\in R$ a $\left( r+U,r+V\right) \in\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right)$ . Entonces, $\varphi$ es un suryecto $R$ -homomorfismo de módulo.

Prueba de la proposición 1. Está claro que $\varphi$ es un $R$ -módulo homomorfismo. Por lo tanto, queda por demostrar que $\varphi$ es suryente.

Tenemos $1\in R=U+V$ . En otras palabras, existe $u\in U$ y $v\in V$ tal que $1=u+v$ . Considere estos $u$ y $v$ .

Dejemos que $z\in\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right)$ sea arbitraria. Por lo tanto, podemos escribir $z$ en la forma $z=\left( \alpha,\beta\right)$ para algunos $\alpha\in R/U$ y $\beta\in R/V$ . Considere estos $\alpha$ y $\beta$ .

Tenemos $\alpha\in R/U$ Por lo tanto, existe un $a\in R$ tal que $\alpha=a+U$ . Considere lo siguiente $a$ .

Tenemos $\beta\in R/V$ Por lo tanto, existe un $b\in R$ tal que $\beta =b+V$ . Considere lo siguiente $b$ .

Dejemos que $x=av+bu\in R$ . Así, \begin {align*} \underbrace {x}_{=av+bu}- \underbrace {a}_{ \substack {=a1=a \left ( u+v \right ) \\\text {(ya que }1=u+v \text {)}} & =av+bu-a \left ( u+v \right ) =bu-au= \left ( b-a \right ) \underbrace {u}_{ \in U} \\ & \in\left ( b-a \right ) U \subseteq U \qquad\left ( \text {desde }U \text { es un ideal izquierdo de }R \right ) , \end {align*} para que $x+U=a+U=\alpha$ . También, \begin {align*} \underbrace {x}_{=av+bu}- \underbrace {b}_{ \substack {=b1=b \left ( u+v \right ) \\\text {(ya que }1=u+v \text {)}} & =av+bu-b \left ( u+v \right ) =av-bv= \left ( a-b \right ) \underbrace {v}_{ \in V} \\ & \in\left ( a-b \right ) V \subseteq V \qquad\left ( \text {desde }V \text { es un ideal izquierdo de }R \right ) , \end {align*} para que $x+V=b+V=\beta$ . Ahora, la definición de $\varphi$ produce \begin {Ecuación} \varphi\left ( x \right ) = \left ( \underbrace {x+U}_{= \alpha }, \underbrace {x+V} _{= \beta } \right ) = \left ( \alpha , \beta\right ) =z. \end {Ecuación} Así, $z=\varphi\left( \underbrace{x}_{\in R}\right) \in\varphi\left( R\right)$ .

Ahora, olvida que hemos arreglado $z$ . Así, hemos demostrado que $z\in\varphi\left( R\right)$ para cada $z\in\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right)$ . En otras palabras, el mapa $\varphi$ es suryente. Esto completa la prueba de la Proposición 1. $\blacksquare$

La proposición 1 muestra que su conjetura es válida para $n=2$ . Para $n<2$ es completamente obvio (ya que $\varphi$ es un mapa de proyección en este caso). Ahora bien, déjame refutar tu conjetura para $n>2$ utilizando el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2. Dejemos que $n>2$ sea un número entero. Sea $V$ sea el $2$ -dimensional $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial $\mathbb{Q}^{2}$ . Para cada número entero positivo $i$ , dejemos que $e_{i}$ sea el vector $\left( 1,i\right) ^{T}\in V$ . Obsérvese que estos vectores $e_{1},e_{2},e_{3},\ldots$ son par linealmente independientes. Sea $R=\operatorname*{End}\nolimits_{\mathbb{Q}}V\cong\mathbb{Q}^{2\times2}$ . Para cada número entero positivo $i$ , dejemos que $J_{i}$ sea el subconjunto $\left\{ A\in R\ \mid\ Ae_{i}=0\right\}$ de $R$ . Está claro que todos estos subconjuntos $J_{1},J_{2},J_{3},\ldots$ son ideales de izquierda de $R$ . Además, cada $J_{i}$ es un $2$ -subespacio dimensional de la $4$ -dimensional $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial $R$ . Pero dos enteros positivos cualesquiera $i$ y $j$ satisfacer $J_{i}\cap J_{j}=0$ (porque cualquier endomorfismo $A\in R$ que aniquila los dos vectores linealmente independientes vectores $e_{i}$ y $e_{j}$ debe ser el mapa cero) y por lo tanto $J_{i} +J_{j}=R$ (ya que $\dim\left( J_{i}+J_{j}\right) =\underbrace{\dim\left( J_{i}\right) }_{=2}+\underbrace{\dim\left( J_{j}\right) }_{=2} -\underbrace{\dim\left( J_{i}\cap J_{j}\right) }_{=0}=4$ ). Por lo tanto, si su conjetura fuera cierta, el mapa $\varphi:R\rightarrow\left( R/J_{1}\right) \oplus\left( R/J_{2}\right) \oplus\cdots\oplus\left( R/J_{n}\right)$ sería sobreyectiva. Esto daría como resultado $4\geq2n$ ya que este mapa $\varphi$ es un $\mathbb{Q}$ -mapa lineal de un $4$ -dimensional $\mathbb{Q}$ -a un espacio vectorial $\left( 2n\right)$ -dimensional $\mathbb{Q}$ -espacio vectorial; pero esto sería contradice $n>2$ .

Por último, la pregunta que intentaba resolver en el último párrafo es una consecuencia del Teorema 1 de https://mathoverflow.net/a/14516/ .