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Teorema del resto cuasi chino para módulos

Dejemos que R sea un anillo. El teorema chino del resto afirma que si J1,,Jn son ideales coprimos bilaterales (es decir J_i+J_k=R,\ \forall i\neq k ) entonces el mapa \varphi:a\in R\longmapsto (a+J_1,\dots,a+J_n)\in R/J_1\oplus\dots\oplus R/J_n es un morfismo de anillo suryente, tal que \ker (\varphi)=\displaystyle \bigcap _{1\leq i\leq n} J_i. Así pues, tenemos un isomorfismo de anillo (y por tanto un R -isomorfismo de módulo) R/\bigcap_{1\leq i\leq n} J_i\simeq R/J_1\oplus\dots\oplus R/J_n. En la demostración, el hecho de que los ideales sean bilaterales se utiliza no sólo para dar sentido al cociente del anillo R/J_i . Así que estoy preguntando si podría extender el teorema para obtener una módulo isomorfismo en lugar de uno de anillo en el siguiente sentido:

Dejemos que R sea un anillo no conmutativo (el caso conmutativo es de hecho el propio Teorema Chino del Resto) y J_1,\dots,J_n\subset R sea a la izquierda ideales tales que J_i+J_k=R si i\neq k . Dejemos que R/J_i sea el módulo cociente de R módulo de la izquierda R -submódulo J_i . Entonces el mapeo \varphi (definida más arriba) es un suryecto R -morfismo de módulo.

El problema surgió al intentar demostrar (o refutar) que cualquier dimensión finita k -tiene sólo un número finito de módulos simples de izquierda hasta el isomorfismo. Si el teorema de generalización de módulos sostiene, entonces he demostrado este hecho.

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jlleblanc Puntos 2957

La respuesta que sigue no es más que una versión detallada de mis comentarios al puesto original.

Su conjetura (que \varphi es sobreyectiva) es verdadera para cada n\leq2 pero falso para cada n\geq3 . Permítanme demostrarlo. En primer lugar, permítanme demostrar que es cierto para n=2 (en aras de la exhaustividad, sé que tienes una prueba):

Propuesta 1. Dejemos que R sea un anillo (no conmutativo, asociativo, unital). Sea U y V sean dos ideales izquierdos de R tal que U+V=R . Dejemos que \varphi:R\rightarrow\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right) sea el mapa que envía cada r\in R a \left( r+U,r+V\right) \in\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right) . Entonces, \varphi es un suryecto R -homomorfismo de módulo.

Prueba de la proposición 1. Está claro que \varphi es un R -módulo homomorfismo. Por lo tanto, queda por demostrar que \varphi es suryente.

Tenemos 1\in R=U+V . En otras palabras, existe u\in U y v\in V tal que 1=u+v . Considere estos u y v .

Dejemos que z\in\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right) sea arbitraria. Por lo tanto, podemos escribir z en la forma z=\left( \alpha,\beta\right) para algunos \alpha\in R/U y \beta\in R/V . Considere estos \alpha y \beta .

Tenemos \alpha\in R/U Por lo tanto, existe un a\in R tal que \alpha=a+U . Considere lo siguiente a .

Tenemos \beta\in R/V Por lo tanto, existe un b\in R tal que \beta =b+V . Considere lo siguiente b .

Dejemos que x=av+bu\in R . Así, \begin {align*} \underbrace {x}_{=av+bu}- \underbrace {a}_{ \substack {=a1=a \left ( u+v \right ) \\\text {(ya que }1=u+v \text {)}} & =av+bu-a \left ( u+v \right ) =bu-au= \left ( b-a \right ) \underbrace {u}_{ \in U} \\ & \in\left ( b-a \right ) U \subseteq U \qquad\left ( \text {desde }U \text { es un ideal izquierdo de }R \right ) , \end {align*} para que x+U=a+U=\alpha . También, \begin {align*} \underbrace {x}_{=av+bu}- \underbrace {b}_{ \substack {=b1=b \left ( u+v \right ) \\\text {(ya que }1=u+v \text {)}} & =av+bu-b \left ( u+v \right ) =av-bv= \left ( a-b \right ) \underbrace {v}_{ \in V} \\ & \in\left ( a-b \right ) V \subseteq V \qquad\left ( \text {desde }V \text { es un ideal izquierdo de }R \right ) , \end {align*} para que x+V=b+V=\beta . Ahora, la definición de \varphi produce \begin {Ecuación} \varphi\left ( x \right ) = \left ( \underbrace {x+U}_{= \alpha }, \underbrace {x+V} _{= \beta } \right ) = \left ( \alpha , \beta\right ) =z. \end {Ecuación} Así, z=\varphi\left( \underbrace{x}_{\in R}\right) \in\varphi\left( R\right) .

Ahora, olvida que hemos arreglado z . Así, hemos demostrado que z\in\varphi\left( R\right) para cada z\in\left( R/U\right) \oplus\left( R/V\right) . En otras palabras, el mapa \varphi es suryente. Esto completa la prueba de la Proposición 1. \blacksquare

La proposición 1 muestra que su conjetura es válida para n=2 . Para n<2 es completamente obvio (ya que \varphi es un mapa de proyección en este caso). Ahora bien, déjame refutar tu conjetura para n>2 utilizando el siguiente ejemplo:

Ejemplo 2. Dejemos que n>2 sea un número entero. Sea V sea el 2 -dimensional \mathbb{Q} -espacio vectorial \mathbb{Q}^{2} . Para cada número entero positivo i , dejemos que e_{i} sea el vector \left( 1,i\right) ^{T}\in V . Obsérvese que estos vectores e_{1},e_{2},e_{3},\ldots son par linealmente independientes. Sea R=\operatorname*{End}\nolimits_{\mathbb{Q}}V\cong\mathbb{Q}^{2\times2} . Para cada número entero positivo i , dejemos que J_{i} sea el subconjunto \left\{ A\in R\ \mid\ Ae_{i}=0\right\} de R . Está claro que todos estos subconjuntos J_{1},J_{2},J_{3},\ldots son ideales de izquierda de R . Además, cada J_{i} es un 2 -subespacio dimensional de la 4 -dimensional \mathbb{Q} -espacio vectorial R . Pero dos enteros positivos cualesquiera i y j satisfacer J_{i}\cap J_{j}=0 (porque cualquier endomorfismo A\in R que aniquila los dos vectores linealmente independientes vectores e_{i} y e_{j} debe ser el mapa cero) y por lo tanto J_{i} +J_{j}=R (ya que \dim\left( J_{i}+J_{j}\right) =\underbrace{\dim\left( J_{i}\right) }_{=2}+\underbrace{\dim\left( J_{j}\right) }_{=2} -\underbrace{\dim\left( J_{i}\cap J_{j}\right) }_{=0}=4 ). Por lo tanto, si su conjetura fuera cierta, el mapa \varphi:R\rightarrow\left( R/J_{1}\right) \oplus\left( R/J_{2}\right) \oplus\cdots\oplus\left( R/J_{n}\right) sería sobreyectiva. Esto daría como resultado 4\geq2n ya que este mapa \varphi es un \mathbb{Q} -mapa lineal de un 4 -dimensional \mathbb{Q} -a un espacio vectorial \left( 2n\right) -dimensional \mathbb{Q} -espacio vectorial; pero esto sería contradice n>2 .

Por último, la pregunta que intentaba resolver en el último párrafo es una consecuencia del Teorema 1 de https://mathoverflow.net/a/14516/ .

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