Demostrar que .

Question

Este es de un Brasileño del concurso de matemáticas para estudiantes universitarios (OBMU):

Deje $f: (0,+\infty) \to (0,+\infty)$ ser infinitamente función derivable tal que

1. Para todos los enteros positivos $k$ positivo y real $x$, $f^{(k)}(x)> 0$ (donde $f^{(k)}$ es el k-ésimo derivados).
2. Para todos los enteros positivos $m$, $f(m)$ es un entero positivo.

Demostrar que $f(n)\ge 2^{n-1}$ para todos los enteros positivos $n$.

Intento

Por el valor medio teorema, tenemos

$$f(2)-f(1) = f'(c_1),\space c_1 \in (1,2)$$ $$f(3)-f(2) = f'(c_2),\space c_2 \in (2,3)$$ $$\vdots $$ $$f(n)-f(n-1) = f'(c_{n-1}),\space c_2 \in (n,n-1) $$

A continuación, $f'(c_k)$ es entero positivo para todos los $k \in \{1,2,\cdots, n-1\}$. Además, $f'$ es estrictamente creciente. Por lo tanto, $f'(c_k) \ge k$. La adición de todas las desigualdades, obtenemos

$$f(n) \ge \sum_{k=1}^{n-1}k + f(1) = \frac{n(n-1)}{2} + f(1) $$

Answer 1

Tenemos $$f(n+1) = f(n) + \int_n^{n+1} f'(t) \, d t$$ Desde $f(n+1) > f(n)$, debido a $f'(x) >0$, e $f(n+1)$ e $f(n)$ son números enteros, podemos ver que $\int_n^{n+1} f'(t) \, d t$ es un número entero. Definir ahora $$h_1(x) := \int_x^{x+1} f'(t) \, dt.$$ Tenga en cuenta que $h'_1(x) = f'(x+1)-f'(x)$. También tenga en cuenta que $h_1(x)$ es de valor entero en $\mathbb{N}$ y tiene la propiedad de que $h^{(i)}_1(x) >0$, es decir, $h_1$ tiene las mismas propiedades como $f$.

Se puede proceder de esta manera para obtener las funciones de $h_n$ con las propiedades (1) y (2). (Por ejemplo, aplicar el mismo argumento en $h_1$ en lugar de $f$ con el fin de obtener $h_2$.) Esta construcción cumple con $$h_i(n+1) = h_i(n) + h_{i+1}(n).$$ Podemos demostrar por inducción que $h_i(j) \ge 2^{j-1}$ para todos los $i \in \mathbb{N}_0$, el cual definimos $h_0 =f$, de forma simultánea.

1. Si $j=1$ entonces $h_i(1)$ es un número entero (para todos los $i \in \mathbb{N}_0$) y por tanto el límite inferior está satisfecho.
2. Suponga que la declaración ya fue probada por todos los $ 1 \le j \le n$ e $i \in \mathbb{N}_0$. Entonces tenemos $$h_i(n+1) = h_i(n) + h_{i+1}(n) \ge 2^{n-1} + 2^{n-1} = 2^{n}.$$

Como un caso especial, obtenemos $f(n) = h_0(n) \ge 2^{n-1}$.