Demostración de la desigualdad de Cauchy-Schwarz para la traza

Question

Desigualdad de Cauchy-Schwarz aplicada a la traza de dos productos $\mathbf{Tr}(A'B)$ tiene la forma

$$ \mathbf{Tr}(A'B) \leq \sqrt{\mathbf{Tr}(A'A)} \sqrt{\mathbf{Tr}(B'B)} $$

He visto muchos lugares donde la gente utiliza esta desigualdad. Pero no he visto una prueba formal. ¿Es difícil de demostrar? ¿Alguien puede dar una prueba sencilla?

Answer 1

La desigualdad de Cauchy-Schwarz es válida para cualquier producto interior, por lo que sólo hay que demostrar $\operatorname{\textbf{Tr}}A'B$ es un producto interno. Es claramente bilineal (o sesquilineal si por $'$ se refería a un adjunto complejo), con $$\operatorname{\textbf{Tr}}A'A=\sum_i (A'A)_{i}=\sum_{ij}A'_{ij}A_{ji}.$$ Dependiendo de si se trabaja con el caso real o complejo, esta cantidad es $\sum_{ij}A_{ji}^2$ o $\sum_{ij}|A_{ji}|^2$ . De cualquier manera es no negativo, completando la prueba.

Answer 2

$Tr(A-tB)'(A-tB) \geq 0$ para todos $t$ real. Amplía esto, utiliza el hecho de que $Tr(M')=Tr(M)$ (así $Tr(A'B)=Tr(B'A))$ y minimizar el lado izquierdo sobre $t$ . Obtendrás la desigualdad que deseas. (Esta es la prueba estándar de la desigualdad C-S)