Necesito calcular:$$\int_0^1 \frac{1-x^3}{1-x^5} dx$ $
Intenté integrarlo por fracciones parciales pero no tuve éxito. ¿Hay alguna otra manera de integrar esto?
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Anthony Shaw
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Otro método, utilizando la función Beta. Deje$t=x^5$, luego $$ \begin{align} \int_0^1 \frac{1-x^3}{1-x^5} dx &=\lim_{\delta\to0}\frac15\int_0^1(t^{-4/5}-t^{-1/5})(1-t)^{\delta-1}\,\mathrm{d}t\\ &=\lim_{\delta\to0}\frac15\left(\mathrm{B}(1/5,\delta)-\mathrm{B}(4/5,\delta)\right)\\ &=\lim_{\delta\to0}\frac15\left(\frac{\Gamma(1/5)\Gamma(\delta)}{\Gamma(1/5+\delta)}-\frac{\Gamma(4/5)\Gamma(\delta)}{\Gamma(4/5+\delta)}\right)\\ &=\lim_{\delta\to0}\frac15\left(\frac{\Gamma(1/5)}{\Gamma(1/5+\delta)}-\frac{\Gamma(4/5)}{\Gamma(4/5+\delta)}\right)\frac{\Gamma(1+\delta)}{\delta}\\ &=\frac15\left(\frac{\Gamma'(4/5)}{\Gamma(4/5)}-\frac{\Gamma'(1/5)}{\Gamma(1/5)}\right)\\ &=\frac15(\psi(4/5)-\psi(1/5))\\ &=\frac{\pi}{5}\cot\left(\frac{\pi}{5}\right)\\ &=\frac{\pi}{5}\sqrt{\frac{5+2\sqrt{5}}{5}} \end {align} $$ Usando la identidad$\psi(1-x)-\psi(x)=\pi\cot(\pi x)$
newguy
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188
Un enfoque alternativo sería usar la serie geométrica$$ \frac{1-x^3}{1-x^5} = \sum_{n=0}^{\infty} (x^{5n} - x^{5n+3}) $ $ para evaluar la integral como$$\int_0^1 \frac{1-x^3}{1-x^5} dx = \sum_{n=0}^{\infty} \Big(\frac{1}{5n+1} - \frac{1}{5n+4} \Big)$ $. Usando la función digamma, esto puede ahora evaluarse como$$ \sum_{n=0}^{\infty} \Big(\frac{1}{5n+1} - \frac{1}{5n+4} \Big) = \frac{1}{5} (\psi(4/5) - \psi(1/5) ) $ $ En conclusión, se puede observar que La función digamma de un número racional en el interal$]0;1[$ siempre se puede expresar como una suma de funciones elementales (funciones trigonométricas y logaritmos de funciones trigonométricas) evaluadas en un número racional veces$\pi$.
El uso parcial de la fracción:
$$ \frac{1-x^3}{1-x^5} = \frac{\sqrt{5}-1}{\sqrt{5}(2x^2+(1+\sqrt{5})x+2)}+\frac{\sqrt{5} +1}{\sqrt{5}(2x^2+(1-\sqrt{5})x+2)} $$
y, a continuación, integrar ambos sumandos con
$$ \int 1/(ax^2+bx+c)dx= 2\frac{\bronceado^{-1}\left(\frac{2ax+b}{\sqrt{4ac-b^2}}\right)}{\left(\sqrt{4ac-b^2}\right)} + \text{constante}, $$ que se realiza completando el cuadrado y el escalado de la traducción el denominador de la forma $A^2y^2+C^2$. Obtendrás $\int 1 /(A^2y^2+C^2)dy = \frac{\tan^{-1}(Ay/C)}{AC}+\text{constant}$.
Plugin de sus límites y listo. Os dejo el duro de sustitución de trabajo para usted. Nave ahoi.
