Elementales límites inferiores para $n^{1/n}$

Question

Me puede mostrar que $n^{1/n} > 1+1/n$ para un entero $n \ge 3$ por completo con medios elementales - no hay registros, exponenciales, o cálculo.

Hay límites que es mejor se puede probar en un modo elemental?

Aquí está mi prueba:

El límite es equivalente a $n > \frac{(n+1)^n}{n^n}$ o $\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}} < 1$.

Para $n=3$, esto es $\frac{4^3}{3^4} =\frac{64}{81} < 1$.

La relación de términos consecutivos es

$\begin{align} \frac{\frac{(n+2)^{n+1}}{(n+1)^{n+2}}}{\frac{(n+1)^n}{n^{n+1}}} &=\frac{(n(n+2))^{n+1}}{(n+1)^{2n+2}}\\ &=\frac{(n^2+2n)^{n+1}}{(n^2+2n+1)^{n+1}}\\ &< 1 \end{align} $

por tanto, los términos están disminuyendo y por lo tanto menos de $1$.

Por supuesto, desde la $e^x > 1+x$, $n^{1/n} = e^{\ln n/n} > 1+\ln n/n$, pero esta no es la primaria.

Answer 1

$$\left(1+\frac1n\right)^n=\sum_{k=0}^n\frac{n!}{k!(n-k)!\cdot n^k}$ $ Previa anulación $n!$ contra $(n-k)!$ nos quedamos con $k$factores $\le n$ en el numerador. Ya que $k$ factores $=n$en el denominador, tenemos $\frac{n!}{k!(n-k)!\cdot n^k}\le \frac1{k!}$. Esto nos lleva casi a la serie $\sum \frac 1{k!}$ $e$, pero sigue siendo elemental, supongo. Todos menos el $0$ th sumando son $\le \frac12$, así que conseguir el % muy débil $\left(1+\frac1n\right)^n\le 1+\frac n2$, por lo tanto, para el $n> 2$ % $ $$\sqrt[n]n>\sqrt[n]{1+\frac n2} \ge 1+\frac1n.$

Por supuesto, podemos fácilmente mejorar esto señalando $\frac1{k!} \left(1+\frac1n\right)^2=1+\frac2n+\frac1{n^2}\qquad \text{for }n\ge 9$ $ y así sucesivamente.