Yo quiero probar $\mathbb R P^3$ $\mathbb R P^2 \vee S^3$ no homotopy equivalente. Después de algún trabajo he demostrado que tienen el mismo grupo fundamental y los de homología, y $X = S^3 \vee S^2 \vee S^3$ es un universal que cubre por $\mathbb R P^2 \vee S^3$ (acaba de adjuntar una copia de $S^3$ a cada uno de los polos de $S^2$ y obtener un $2$veces la cobertura).
Sé que esta pregunta ya ha sido respondida aquí antes, pero todo el mundo me pregunte utiliza una variación de un argumento basado en el cohomology anillo de estos espacios, y no sé nada acerca de cohomology o copa de productos aún (ni tiene el libro de texto ha dicho nada acerca de que cuando este ejercicio fue propuesto). Al parecer, la segunda homotopy grupo de $\mathbb R P^2 \vee S^3$$\mathbb Z$, mientras que la conocemos $\pi_2(\mathbb R P^3)$ es trivial, así que ese es el camino a seguir. Por desgracia, yo no sé cómo calcular el homotopy grupos de la cuña suma $X = S^3 \vee S^2 \vee S^3$ como yo no puede utilizar van Kampen, así que honestamente estoy bastante perdido aquí.
Es posible que alguien me muestre cómo hace uno para demostrar que no son homotopy equivalente, utilizando sólo la homología y tal vez homotopy y la cobertura de los espacios?
