Integración de$\frac{1}{\sqrt{x^2+1}}$ con la ayuda de un cambio de variable

Question

La pregunta que me estoy enfrentando es la siguiente:

Con la ayuda de una variable de cambio $\sqrt{x^2+1}=x+t$, demuestran que más de la $\mathbb{R}$, $k\in \mathbb{R}$

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \ \mathrm{d}}x=\ln(x+\sqrt{x^2+1})+k$$

Ahora lo que hice fue algo diferente, he construido un triángulo rectángulo con un ángulo de $\alpha$ (a su lado adyacente ser $1$ y el lado opuesto se $x$), y con una hipotenusa de $\sqrt{x^2+1}$.

Por lo tanto, $x=\tan{\alpha}$$\mathrm{d}x=\sec^2{\alpha} \ \mathrm{d}\alpha$. Por lo tanto tenemos:

$$\int{\frac{1}{\sqrt{x^2+1}} \ \mathrm{d}}x=\int{\cos{\alpha} \ \mathrm{d}x}=\int{\frac{\sec^2{\alpha}}{\sec{\alpha}} \ \mathrm{d}\alpha}=\int{\sec{\alpha} \ \mathrm{d}\alpha}$$

Sé cómo integrar la $\sec{\alpha} \ \mathrm{d}\alpha$, y después de la sustitución de $\alpha$ con el valor inicial de $x$, yo a la verdad final con el resultado de la $\ln(x+\sqrt{x^2+1})+k$.

Pero, ¿cómo iba a terminar con el mismo resultado utilizando la pista? Alguien me puede ayudar? Gracias.

Answer 1

Deje$t=\sqrt{x^2+1}-x=\frac{1}{\sqrt{x^2+1}+1}$, que es equivalente a$x=\frac{1-t^2}{2t}$. Entonces nosotros tenemos

$$ \begin{align} \int \color{blue}{\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}}\,\color{red}{dx}&=\int \color{blue}{\left(\frac{2t}{1+t^2}\right)}\,\color{red}{\left(-\frac12 \frac{t^2+1}{t^2}\right)\,dt}\\\\ &=-\int \frac1t\,dt\\\\ &=-\log(t)+k\\\\ &=\log(x+\sqrt{x^2+1})+k \end {align} $$

¡Como iba a ser mostrado!

Answer 2

Con$\sqrt{x^2+1}=t-x$ (ligeramente mejor) tienes$x^2+1=t^2-2tx+x^2$, así que $$ x = \ frac {t ^ 2-1} {2t} = \ frac {t} {2} - \ frac {1} {2t} $$ también $$ $$ dx = \ frac {1} {2} \ left (1+ \ frac {1} {t ^ 2} \ right) \, dt = \ frac {t ^ 2 +1} {2t ^ 2} \, dt $$ y $$ \ sqrt {x ^ 2 +1} = tx = t- \ frac {t} {2} + \ frac {1} {2t} = \ frac {t ^ 2 +1} {2t} $$ Luego la integral se convierte en $$ \ int \ frac {2t} {t ^ 2 +1} \ frac {t ^ 2 +1} {2t ^ 2} \, dt $$