Sé que cualquier anillo conmutativo sin cero divisores debe ser un campo, pero si tenemos un anillo finito, que no es necesariamente conmutativo o unital, ¿debe existir un divisor cero? Supongo que$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ para incluso$n$ siempre tendrá un divisor cero, pero ¿qué pasa con otros anillos finitos?
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maira hedge
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Un anillo finito sin cero divisores es un campo según el pequeño teorema de Weddurburn . Tenga en cuenta que la respuesta superior a esta pregunta muestra que un anillo finito que contiene un divisor distinto de cero tiene una unidad.
Deje $R$ ser un anillo finito, no necesariamente unital, no necesarrily conmutativa, pero sin divisores de cero. Elija cualquiera de los $r \in R$, $r \ne 0$, y considerar el mapa
$f_r:R \to R, \; f_r(a) = ra, \; a \in R; \tag 1$
tomamos nota de que la condición de que $R$ sin divisores de cero implica $f_r$ es inyectiva:
$f_r(a_1) = f_r(a_2) \Longleftrightarrow ra_1 = ra_2 \Longleftrightarrow r(a_1 - a_2) = 0 \Longleftrightarrow a_1 - a_2 = 0 \Longleftrightarrow a_1 = a_2; \tag 2$
desde $R$ es finito y $f_r$ es inyectiva, es también surjective; por lo tanto existe $e \in R$ con
$re = f_r(e) = r; \tag 3$
a continuación, considere el mapa
$g_r: R \to R, \; g(a) = ar, \; a \in R; \tag 4$
un argumento paralelo al dado por $f_r$ muestra que $g_r$ también es inyectiva y surjective; así para cualquier $s \in R$ hay $t \in R$ con
$tr = g_r(t) = s; \tag 5$
de ello se sigue que
$se = (tr)e = t(re) = tr = s; \tag 6$
esto demuestra que $e$ es un derecho multiplicativo de identidad para $R$. Ahora, el método y la lógica se puede aplicar fácilmente para mostrar que no existe una izquierda identidad multiplicativa $e' \in R$; es decir,
$e'r = r, \; \forall r \in R\; \tag 7$
entonces
$e' = e'e = e, \tag 8$
la que se muestra a la izquierda y a la derecha multiplicativo identidades son iguales; por lo tanto denotar este elemento por $1_R$:
$1_R r = r = r 1_R, \; \forall r \in R; \tag 9$
siguiente, podemos observar que los surjectivity de $f_r$ implica la existencia de $r' \in R$ con
$rr' = f_r(r') = 1_R; \tag{10}$
asimismo, el surjectivity de $g_r$ fuerzas de la existencia de $r'' \in R$ con
$r''r = 1_R; \tag{11}$
también,
$r'' = r'' 1_R = r''(rr') = (r''r)r' = 1_R r' = r'; \tag{12}$
así vemos que cada una de las $r \in R$ tiene un original de dos caras inverso multiplicativo, el cual nos deonte por $r^{-1}$:
$r' = r'' = r^{-1}. \tag{13}$
Así hemos establecido que cualquier finito anillo sin divisores de cero tiene un multiplicativo de identidad e inversa para cada elemento no nulo; por lo que es un anillo de división, y ahora estamos en posición para invocar Wedderburn poco teorema a la conclusión de que la $R$ debe ser conmutativa, es decir, $R$ es un campo.
Trabajando hacia atrás a través de la contraposición, podemos ver que cualquier finito anillo, que no es un campo que debe poseer de divisores de cero.
Nota: Cuando me enteré de Wedderburn Poco Teorema, se declaró como finita de la división de anillo es un campo. Basado en esta memoria, que he establecido las $R$ es un anillo de división antes de invocar Wedderburn. Pero yo lo veo desde el vinculado citando que el teorema se dice a menudo como Un dominio finito es un campo, que supongo que significa que he hecho un poco más (y posiblemente redundante) trabajo aquí. Final de la Nota.
egreg
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Un anillo finito $R$ (no necesariamente conmutativo o unital) es, sin duda (izquierda y derecha) artinian.
Supongamos $R$ no tiene ningún cero a la izquierda divisor, que es, para $x\in R$, $x\ne0$, $rx=0$ implica $r=0$; en otras palabras, la izquierda aniquilador de $x$$\{0\}$. Si $I$ es un mínimo de izquierda ideal y $x\in I$, $x\ne0$, tenemos $Rx=I$; sin embargo, $Rx$ es isomorfo a $R$ modulo de la izquierda aniquilador de $x$. Por lo tanto, $R\cong I$ $R$ es simple artinian (en particular semisimple).
Por Wedderburn "grandes" teorema, que también se aplica a nonunital anillos, $R$ es isomorfo a la total $n\times n$ matriz de anillo de más de un (finito) de la división de anillo. No hay divisores de cero implica $n=1$. Por lo $R$ es finito, de la división de anillo, que, por Wedderburn "poco" teorema es conmutativa.
