Mostrar que el carácter $\chi_ϕ(g) ∈ \Bbb Z$ para cualquier representación $ϕ$ $G$.

Question

Que $G$ sea un grupo finito, $g ∈ G$ ser un elemento de orden $n$. Supongo que, para cada $1 ≤ i ≤ n$ $(i, n) = 1$, conjugado a $g$ $g^i$. A continuación mostramos que $\chi_ϕ(g) ∈ \Bbb Z$ para cualquier representación $ϕ$ $G$.

Aquí está mi intento:

Como $G$ es finito así $\phi(g)=diag(a_1,...,a_n)$ donde $a_i$ son cualquier raíz de th $n$ de la unidad. Entonces $\chi_ϕ(g)=a_1+....+a_n$.

Ahora $\chi_ϕ(g) \in \Bbb Q(w)$ donde $w=e^\frac{2\pi i}{n}$

Luego $\sum_{\sigma \in Gal(\Bbb Q(w)/\Bbb Q)} \sigma(\chiϕ(g)) \in \Bbb Q$ahora $\sum{\sigma \in Gal(\Bbb Q(w)/\Bbb Q)} \sigma(\chiϕ(g))=\sum{\sigma \in Gal(\Bbb Q(w)/\Bbb Q)}(\sigma(a_1)+...+\sigma(an))=\sum{j=1}^n\sum_{{i: (i,n)=1, 1 \leq i\leq n}}a_j^i \in \Bbb Z$.

[Como $\sum_{{i: (i,n)=1, 1 \leq i\leq n}}a_j^i \in \Bbb Z$].

Desde aquí ¿cómo podemos demostrar $\chi_ϕ(g) ∈ \Bbb Z$?

Answer 1

Usted ha identificado que cada una de las $\chi(g^i)$ es en el campo de $\mathbb Q(\omega)$, y que han demostrado que $ \sum_{(i,n) = 1} \chi(g^i) $ es invariante bajo la acción de cualquier automorphism $\sigma \in Gal(\mathbb Q(\omega) : \mathbb Q)$. Entonces dedujo que $$ \sum_{(i,n) = 1} \chi(g^i) \in \mathbb Q. $$ Esto es lo más difícil!

Desde $g$ es conjugado a $g^i$ al $(i,n) = 1$, usted sabe que $\chi(g) = \chi(g^i)$ al $(i,n) = 1$. Por lo tanto, $ \chi(g^i) \in \mathbb Q$ para cualquier $i$ tal que $(i,n) = 1$.

Pero los caracteres de las representaciones sobre $\mathbb C$ siempre algebraica de los números enteros! (Ver aquí.)

La única algebraica de los números enteros en $\mathbb Q$ el (auténtico) enteros! Así se puede concluir que el $ \chi(g^i) \in \mathbb Z$ cualquier $i$ tal que $(i,n) = 1$.