Comprender la definición del esquema axiomático de especificación

Question

Consideremos el esquema axiomático de la separación:

Si $P$ es una propiedad (con parámetro $p$ ), entonces para cualquier $X$ y $p$ existe un conjunto $Y = \{u \in X : P(u,p)\}$ t $u \in X$ que tienen la propiedad $P$ .

Consideremos ahora dos posibles interpretaciones de este esquema axiomático:

(1) Si $X$ es un conjunto, y $P$ es cualquier propiedad arbitraria, especificar un subconjunto de $X$ en la que todas las mem satisfacen $P$ .

(2) Si $X$ es un conjunto, y $P$ es cualquier propiedad arbitraria t expresarse en términos de un número finito de expresiones que implican sólo las relaciones de $\in$ y $=$ y las conectivas lógicas , podemos especificar un subconjunto de $X$ en la que todos los miembros satisfacen $P$ dadas las restricciones en negrita.

Mi pregunta es si estoy en lo cierto al suponer que (2) es la forma correcta de entender este esquema axiomático, y que (1) y (2) son estrictamente distintos entre sí.

Answer 1

La magnífica belleza de los axiomas de $\sf ZF$ es que nos permiten, con sólo $\in$ para expresar tanto.

Cuando decimos una propiedad arbitraria, nos referimos a una que puede expresarse en el lenguaje de la teoría de conjuntos. De lo contrario, será imposible escribir el axioma correspondiente a esa propiedad en el lenguaje de la teoría de conjuntos, que es el lenguaje de $\sf ZF$ .

Pareces olvidar que hay cuantificadores que se utilizan en las fórmulas. No todo son combinaciones booleanas de fórmulas atómicas y sus negaciones. No, aquí hacemos un uso intensivo de la cuantificación. Por ejemplo $\subseteq$ puede definirse como $x\subseteq y\iff\forall z(z\in x\rightarrow z\in y)$ y podemos definir cuándo un conjunto es transitivo, $\forall y(y\in x\rightarrow\forall u(u\in y\rightarrow u\in x))$ o de forma abreviada, $\forall y(y\in x\rightarrow y\subseteq x)$ .

Podemos definir $x\cup y$ y $x\cap y$ y más y más. Algunas de las fórmulas nos obligan a basarnos en los axiomas para demostrar que son correctas, pero no pasa nada. Podemos hacerlo. Pero podemos sentarnos y escribir fórmulas que rápidamente se vuelven cada vez más complicadas y que expresan mucho. Mucho más que $x\in y$ o $x=y$ .