$h$ es estrictamente monótona polinomios iff en $h$ son uniformemente densos

Question

Supongamos $h$ es continua en a $[0,1]$. Entonces, tengo que probar lo siguiente:

$h$ es estrictamente monótona iff cada función continua en $[0,1]$ puede ser uniformemente aproximado en $[0,1]$ por un polinomio en $h$.

Sé que podemos usar aquí la Piedra-teorema de Weierstrass. Me resultó una sola dirección, que es el si $h$ es continua en a $[0,1]$ $h$ es estrictamente monótona y, a continuación, cada función en $[0,1]$ puede ser uniformemente aproximar por un polinomio en $h$. Pero estoy teniendo un tiempo difícil haciendo lo contrario de la parte.

Answer 1

Aquí le damos una pista: si es continua en $h$ $[0,1]$, es estrictamente monótona si y sólo si es uno a uno.

Answer 2

Por hipótesis, tenemos que $h$ es continua. Supongamos, por contrapositivo, que $h$ no es estrictamente monótona: en particular, desde la $h$ es continua, existen dos puntos de $x<y$ tal que $h(x)=h(y)$ (se puede ver por qué?).

Ahora, considere la posibilidad de $f$ a ser la identidad de la función en $[0,1]$. Podemos mostrar que ninguna familia de polinomios $(P_n\circ h)_n$ $h$ pueden uniformemente aproximado de $f$. De hecho, tomar cualquier familia de polinomios $(P_n)_n$, y deje $\varepsilon \stackrel{\rm def}{=} \frac{y-x}{3}$.

Desde $h(x)=h(y)$, para cada $n\geq 0$ tenemos $P_n\circ h(x)=P_n\circ h(y)$, y, por tanto, por la desigualdad de triángulo $$ \lvert P_n\circ h(x) - f(x)\rvert + \lvert P_n\circ h(y) - f(y)\rvert = \geq \lvert x-y\rvert = 3\varepsilon $$ así, para cada $n\geq 0$, $\lVert P_n\circ h - f\rVert_\infty \geq \max(\lvert P_n\circ h(x) - f(x)\rvert,\lvert P_n\circ h(y) - f(y)\rvert) \geq \frac{3}{2}\varepsilon$.

Por lo tanto, $h$ no es estrictamente monótona implica que existe una función en $[0,1]$ que no puede ser uniforme aproximada por una familia de polinomios en $h$. $\square$

Answer 3

Primera parte: si $h$ es estrictamente monótona, polinomios en $h$ son densos en $C^0[0,1]$ con respecto a la supremum norma. Suponga que $f$ es la función que se desea de manera uniforme aproximada. Debido a la aproximación de Weierstrass teorema $f\circ h^{-1}$ es una función continua que puede ser de manera uniforme aproximada por una secuencia de polinomios $\{p_n(x)\}_{n\geq 1}$, por lo tanto la secuencia de $\{(p_n\circ h)(x)\}_{n\geq 1}$ proporciona una aproximación uniforme de $f$ como quería.

Segunda parte: si $h$ no es estrictamente monótona, hay algunos $f\in C^0[0,1]$ que no puede ser uniforme aproximada por cualquier secuencia de la forma $\{(p_n\circ h)(x)\}_{n\geq 1}$. Podemos suponer que la $h$ tiene un punto fijo en algún $\xi\in(0,1)$, y lo hace cualquier $(p_n\circ h)$. Si tomamos un poco de $f\in C^1[0,1]$ que es estrictamente monótona y tiene un gran derivada en $\xi$, la convergencia uniforme de $\{(p_n\circ h)(x)\}_{n\geq 1}$ está condenado a fallar por cualquier secuencia de polinomios $\{p_n(x)\}_{n\geq 1}$.

Hay un poco de handwaving en la segunda parte: lo dejo a usted la misión de eliminar a es$^{(*)}$ y gire mi segunda parte en una prueba plena, sólo quería esbozar algunas ideas.

$(*)$ Esta es una interesante revisión: no se $\xi_1\neq \xi_2$ $[0,1]$ tal que $h(\xi_1)=h(\xi_2)$; lo mismo se aplica a cualquier $p_n\circ h$, por lo tanto algunas de función continua tal que $f(\xi_1)\neq f(\xi_2)$ no puede ser uniforme aproximada por una $\{(p_n\circ h)(x)\}_{n\geq 1}$ de la secuencia.