La idea de utilizar la ecuación característica para resolver la relación de recurrencia es postular soluciones exponenciales, $y_n=r^n.$ Las raíces de la ecuación característica, suponiendo que no haya raíces múltiples, dan entonces un conjunto de funciones base, y la solución general es una combinación lineal de estas funciones base, $$y_n=\alpha_1r_1^n+\alpha_2r_2^n+\ldots+\alpha_kr_k^n.$$
La idea de utilizar la ecuación característica para resolver la ecuación diferencial es similar. Postulamos una solución exponencial $y=e^{rx}.$ Las raíces de la ecuación característica, suponiendo de nuevo que no hay raíces múltiples, dan un conjunto de funciones base, y la solución general es una combinación lineal de estas funciones base, $$y=\alpha_1e^{r_1x}+\alpha_2e^{r_2x}+\ldots+\alpha_ke^{r_kx}.$$
Veamos cómo se relacionan ambos métodos en sus ejemplos, $y_n=cy_{n-1}$ y $y'=cy.$
- Para la recurrencia obtenemos $r=c,$ y por tanto la solución general $y_n=\alpha c^n$ .
- Para la ecuación diferencial también obtenemos $r=c.$ Esto da la solución general $y=\alpha e^{cx}.$
Resolvamos ahora una aproximación discreta de la ecuación diferencial utilizando el método de la ecuación de recurrencia. Aproximando la derivada, tenemos $$\frac{y(x+\Delta x)-y(x)}{\Delta x}\approx cy(x).$$ Si discretizamos el $x$ -eje, dejando $x=n\Delta x,$ obtenemos $$\frac{y((n+1)\Delta x)-y(n\Delta x)}{\Delta x}\approx cy(n\Delta x).$$ Si escribimos $y_n$ para $y(n\Delta x),$ obtenemos $$y_{n+1}-y_n\approx cy_n\Delta x$$ o $$y_{n+1}\approx(1+c\Delta x)y_n.$$ La cantidad entre paréntesis desempeña el papel de $c$ en la relación de recurrencia resuelta anteriormente. Adaptando esa solución se obtiene $r=1+c\Delta x$ y por lo tanto $$y_n\approx\alpha(1+c\Delta x)^n.$$ Desde $\Delta x=x/n,$ esto es lo mismo que $$y_n\approx\alpha(1+cx/n)^n.$$ Esto es consistente con la solución exacta de la ecuación diferencial ya que, para grandes $n,$ $(1+cx/n)^n$ es aproximadamente $e^{cx}.$
