Informática el anillo local de una variedad afín

Question

Deje $W=V(y^{2}-x^{3}) \subseteq \mathbb{A}^{2}$ $k$ algebraicamente cerrado. Claramente la dimensión del espacio de la tangente en el origen es $2$. Quiero calcular esta usando la definición el hecho de que $\operatorname{dim} T_{(0,0)}W=\operatorname{dim}_{k} \mathfrak{m}/\mathfrak{m}^{2}$. Donde $\mathfrak{m}$ es el máximo ideal del anillo local $\mathcal{O}_{(0,0),W}$.

OK de acuerdo a Hartshorne el anillo local es isomorfo a la localización de la coordenada correspondiente anillo localizado en el ideal de $(x,y)$ derecho?

Así que necesitamos para calcular el máximo ideal de la $k[x,y]/(y^{2}-x^{3})$ localizada en $(x,y)$. Sé que, en general, dado un anillo de $A$ si $\mathfrak{p} \in \operatorname{Spec}(A)$ tenemos $\mathfrak{p}A_{p}=\{\frac{g}{h}: g,h \in P\}$ es el único ideal maximal. Sin embargo no veo la manera de simplificar las cosas aquí. Cómo calcular esto?

Answer 1

Si$M=(x,y)\subset k[X,Y]/(Y^2-X^3)=k[x,y]\stackrel{\text {def}}{=}A \;$, el ideal máximo que le interesa es$\mathfrak m=MA_M \subset A_M$ el ideal máximo del anillo local$A_M=\mathcal O_{(0,0),W}$.
El$k$ - espacio vectorial$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ es generado por$\bar x$ y$\bar y$ y todo lo que tienes que verificar es que son linealmente independientes.
Una relación de dependencia lineal$q\bar x+r \bar y=0$ ($q,r\in k$) significa$qx+ry \in \mathfrak m^2=(x^2,xy,y^2)$.
Al elevarse a polinomios reales, esto significa$$qX+rY\in (X^2,XY,Y^2)+(Y^2-X^3)=(X^2,XY,Y^2)\subset k[X,Y]$$ and implies $ q = r = 0 $.
Así que$\bar x$ y$\bar y$ son linealmente independientes en$\mathfrak m/\mathfrak m^2$ y$dim_k(\mathfrak m/\mathfrak m^2)=2$