¿Derivación de las series de Fourier?

Question

¿Puede alguien indicarme la derivación completa de la serie de Fourier? Tengo problemas para entender cómo se calculan los coeficientes de a y b.

Answer 1

Imagina que $f(x) = \sum_n a_n \cos n x + \sum_n b_n \sin n x$ (para $x \in [0,2\pi]$ por ejemplo). La idea de calcular el $a_n$ s y $b_n$ es que cuando se escriben integrales de la forma $\int_0^{2\pi} \cos m x \cos n x,$ o $\int_0^{2\pi} \sin m x \sin n x$ o $\int_0^{2 \pi} \cos m x \sin n x$ , entonces las integrales desaparecen (¡sólo hay que calcularlas!) a menos que $m = n$ y las funciones coinciden; y en los casos en que no desaparecen, sus valores se calculan fácilmente.

Así que tomando $f$ y, a continuación, calcular $\int_0^{2\pi} f(x) \cos n x$ o $\int_0^{2 \pi} f(x) \sin n x$ , se lee exactamente fuera $a_n$ o $b_n$ (para el valor de $n$ usted eligió). De aquí salen las fórmulas.

La forma en que la gente normalmente piensa en esto es como una especie de proyección ortogonal: las funciones $\cos n x$ y $\sin n x$ son como vectores base ortogonales en un espacio vectorial, y la integral es como un producto interno. Así que para encontrar el coeficiente de un vector base dado (es decir, un $a_n$ o un $b_n$ ) se toma el producto interno contra ese vector base particular.