Cómo dividir números del aleph

Question

Recientemente, me preguntaba cómo división de aleph números de trabajo. En primer lugar, pensé en cómo finito de cardinalidad de la división del trabajo. Lo que se me ocurrió fue que el resultado de $A/B$ donde $A$ $B$ son tanto cardinalidades, es el número de veces que cada elemento de a $B$ tuvo que ser asignada a un elemento de $A$ a fin de asegurar que todos los elementos de a $A$ fueron asignadas.

Se extiende de este a aleph números, específicamente, pensé que $\aleph_1/\aleph_0$$\aleph_1$. El razonamiento detrás de esto es que hay una infinita ($\aleph_1$) número de números reales entre cualesquiera dos números naturales. Como tal, esa asignación debe aplicarse.

¿Alguien puede validar esta idea? ¿Es esta la forma de la división de aleph números realmente funciona, o estoy totalmente fuera de base?

Gracias.

Answer 1

Mucho como escribí en el número Cardinal de la resta, si $\kappa$ $\lambda$ dos $\aleph$-los números, podría ser posible definir la división, pero esta definición tendría que ser limitado y torpe.

Si $\kappa$ $\lambda$ son tanto regular cardenales y $\kappa<\lambda$, entonces cada partición de $\lambda$ a $\kappa$ muchas partes tendría que tener al menos una pieza de tamaño $\lambda$. En un sentido esto significa que $\frac\lambda\kappa=\lambda$. Este es ciertamente el caso con $\aleph_1/\aleph_0$, ambos son habituales de los cardenales se $\aleph_0<\aleph_1$.

Si, sin embargo, $\kappa=\lambda$ este ya no se define, desde el $\kappa=2\cdot\kappa=\aleph_0\cdot\kappa=\ldots=\kappa\cdot\kappa=\ldots$, por lo tanto, pueden ser muchas las particiones de $\lambda$ a $\kappa$ muchas partes, y en cada una de las partes que varían en tamaño (singleton; parejas; countably conjuntos infinitos; etc.)

Al $\lambda$ es un singular límite cardenal, por ejemplo, $\aleph_\omega$ este se rompe por completo, ya que en singular cardenales se puede dividir en un "pocas" "pequeñas" partes. En el $\aleph_\omega$ de los casos, estas serían las piezas de tamaño $\aleph_n$ por cada $n$, que hacer una contables de la partición en la que todas las piezas son más pequeñas que las $\aleph_\omega$.

La única manera en que puedo pensar que el cardenal división puede ser definido tendría que considerar la Surrealista números, y la incrustación de los ordinales en ellos. Sin embargo, esto no será compatible con el cardenal de la aritmética en la que todos (los surrealistas números forman un campo).

También debo comentar que su razonamiento para $\aleph_1/\aleph_0$ $\aleph_1$ no es válido. La primera nota que ni es un número real, y que es posible que $\aleph_1$ es mucho menor que la cardinalidad de los números reales (por lo que entre dos números naturales hay muchos más números reales). En segundo lugar, tenga en cuenta que entre dos números racionales hay también infinidad de números racionales - ¿quiere decir $\aleph_0/\aleph_0=\aleph_0$?

Sin embargo, su justificación no está muy lejano, como señalé en la parte superior del post, si se toma un conjunto de tamaño $\aleph_1$ y la partición en $\aleph_0$ muchas partes se garantiza que al menos una de las partes tendría el tamaño de la $\aleph_1$.

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Leer más:

1. Cofinality de cardenales
2. Cofinality y sus Consecuencias
3. Cómo entender el regular el cardenal?
4. ¿Conoce ordinal notaciones tramo? (Cantor forma normal)
5. surrealista y los números ordinales.

Answer 2

Si usted está buscando algo compatible con el cardenal multiplicación, tendrá que lidiar con el problema fundamental que $\kappa\cdot\lambda=\max\{\kappa,\lambda\}$ siempre $\kappa,\lambda$ están bien solicitar cardenales y al menos uno de ellos es un aleph. Que tipo de absorción significa-por ejemplo-que $\aleph_0\cdot\aleph_2=\aleph_1\cdot\aleph_2=\aleph_2\cdot\aleph_2=\aleph_2$, por lo que incluso tratando de definir el $\aleph_2/\aleph_2$, en cierta manera compatible con el cardenal multiplicación es problemático. Ahora, uno podría elegir un convenio para $\lambda/\kappa$ en los casos en que $\kappa\leq\lambda$--digamos, por ejemplo, que siempre es lo $\lambda$ -, pero tratando de compatibilidad de definir al $\kappa>\lambda$ es infructuoso.