¿La existencia de la segunda derivada débil de $f\in L^2$ implica la existencia de la primera?

Question

Consideremos una función $f\in L^2(\mathbb{R})$ para los que existe la segunda derivada débil y se encuentran en $L^2(\mathbb{R})$ , es decir, existe $f''\in L^2(\mathbb{R})$ tal que para todo $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ la siguiente ecuación integral se mantiene: $$ \int\limits_\mathbb{R}f(x)\varphi''(x)dx=\int\limits_\mathbb{R}f''(x)\varphi(x)dx. $$

Mi pregunta es, teniendo esto podemos asumir que los débiles $f'$ también existe en $L^2(\mathbb{R})$ ?

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Supongamos que encontramos una función normal (no generalizada) $g:\mathbb{R}\to\mathbb{C}$ tal que para todo $\varphi\in C_0^\infty(\mathbb{R})$ $$ \int\limits_\mathbb{R}f(x)\varphi'(x)dx=-\int\limits_\mathbb{R}g(x)\varphi(x)dx. $$ Entonces $$ \langle -f'', f \rangle_{L^2}=-\int\limits_\mathbb{R}f''(x)f(x)dx=\int\limits_\mathbb{R}g(x)g(x)dx=\|g\|_{L^2}^2 $$ lo que significa que $g$ está en $L^2(\mathbb{R})$ . Pero lo que nos garantiza la existencia de tal $g$ ?

Answer 1

Definir $ f'(x) = \int_0^x f''(t)d t $ entonces $|f'(y)|\leq (\int _0^y |f''|^2 )^{1/2}\sqrt{y}\leq ||f''||_2 \sqrt{y}$ .

Por lo tanto, $$\int\limits_{\mathbb{R}} f''(x) \phi (x) d x = -\int\limits_{\mathbb{R}} f'(x) \phi '(x) d x $$

Y así $$\int\limits_{\mathbb{R}} f(x) \phi''(x) d x=-\int\limits_{\mathbb{R}} f'(x) \phi '(x) d x $$

Answer 2

Esto queda claro si se observa la transformada de Fourier. Si $f,f''\in L^2$ entonces $$\int|\hat f(\xi)|^2<\infty$$ y $$\int|\xi|^4|\hat f(\xi)|^2<\infty,$$ y por lo tanto $$\int|\xi|^2|\hat f(\xi)|^2<\infty,$$ porque $|\xi|^2\le\max(1,|\xi|^4)$ .