Cuando un número es cuadrado en el campo de Galois $p^n$ si no es mod cuadrado $p$ ?

Question

Este es el problema, en el que estoy atascado.

No hay raíz cuadrada de $a$ en $\mathbb{Z}_p$ . ¿Existe la raíz cuadrada de $a$ en $GF(p^n)$ ?

Bueno, es cierto que $$x^{p^n}=x$$ y $$x^{p^n-1}=1$$ para el caso de que sea distinto de cero $x$ .

Si existe tal $x$ que $a=x^2$ entonces $$a^{\frac{p^n-1}{2}}=1$$ Ahora bien, esto es realmente una ecuación en $\mathbb{Z}_{p}$ sólo, por lo que puedo escribir $$a^{\frac{p^n-1}{2}}\equiv 1\mod p$$

Ahora la respuesta parece estar a un toque de distancia porque sé que $x^2\equiv a \mod p$ si $a^{(p-1)/2}\equiv 1 \mod p$ . ¿Cómo puedo atar los cabos, qué me falta?

Answer 1

Si $a$ no es un cuadrado en $\mathbb F_p$ entonces es un cuadrado en $\mathbb F_{p^n}$ precisamente cuando $n$ es uniforme. De hecho, $\mathbb F_p(\sqrt a)$ es una extensión cuadrática de $\mathbb F_p$ Por lo tanto $\mathbb F_p(\sqrt a) = \mathbb F_{p^2}$ . Ahora, sabemos que $\mathbb F_{p^m} \subseteq \mathbb F_{p^n}$ si y sólo si $m \mid n$ . De ello se desprende que $a$ es un cuadrado en $\mathbb F_{p^n}$ si y sólo si $\mathbb F_p(\sqrt a) \subseteq \mathbb F_{p^n}$ si y sólo si $2 \mid n$ .

Answer 2

Como los campos finitos están determinados unívocamente por su orden, se sabe que si $a\in\Bbb Z$ entonces una de dos cosas es cierta, o bien $a=x^2$ para algún otro $x\in\Bbb Z/p=\Bbb F_p$ o no. En el caso de que no lo sea, entonces $x^2-a$ es irreducible sobre $\Bbb F_p$ . Si es así, entonces

$$\Bbb F_p[x]/(x^2-a)\cong\Bbb F_{p^2}$$

y esto es independiente de la elección de la no-cuadrado $a\in\Bbb F_p$ . Como sólo hay un campo de orden $p^2$ todos los enteros son cuadrados si

$$\Bbb F_{p^n}\supseteq\Bbb F_{p^2}\iff 2|n$$