¿Por qué es esto una prueba incorrecta? - $f(b) - f(a) = [Df(c)](b-a) = \nabla f(c) \cdot (b-a)$

Question

Soy actualmente un estudiante en un Vector de la clase de Cálculo, y recibí mi examen de hoy. Tengo pensado ir para el profesor horas de oficina, pero me gustaría preguntar aquí (en caso de que haya algunos descaradamente obvio culpa de que me falta). No sólo eso, yo no entiendo por qué no he recibido el crédito parcial a este problema, pero no entiendo por qué no es completamente correcta. Agradecería cualquier perspectiva. El enunciado del problema es:

Deje $a,b \in \mathbb{R^n}$$a \neq b$. El segmento de $(a,b)$ $\mathbb{R^n}$ está definido por: $$(a,b) := \{x \in \mathbb{R^n} | ~x = (1 - t)a + tb,~ t \in (0,1) \} $$

Deje $f: \mathbb{R^n} \rightarrow \mathbb{R}$ ser diferenciable en a $\mathbb{R^n}$. Utilizar el Valor medio Teorema a partir de una sola variable de cálculo para mostrar que no existe $c \in (a,b) \subset \mathbb{R^n}$: $$f(b) - f(a) = [Df(c)](b-a) = \nabla f(c) \cdot (b-a)$$

Aquí está mi prueba:

Sabemos $f$ es diferenciable en a $\mathbb{R^n}$ (incluido en el intervalo de $(a,b)$). Revisión de todos los elementos en $x$ pero, llame a este elemento $x_i$ (es decir, el $i^{th}$ elemento $x$. Deje $a_i < c_i < b_i$. Por el valor medio teorema, sabemos que hay al menos un $c_i$ de manera tal que la tangente a $c_i$ es paralela a la secante entre el$a_i$$b_i$. Es decir, existe un $c_i$ tal forma que: $$\frac{f(b_i) - f(a_i)}{b_i - a_i} = \frac{\partial f(x_i)}{\partial c_i}$$ Multiplicando por $(b_i - a_i)$ en ambos lados, tenemos: $$f(b_i) - f(a_i) = \frac{\partial f(x_i)}{\partial c_i}(b_i - a_i)$$ Ahora nos corregir todos los otros elementos en $x$ y, por el mismo proceso, llegan al mismo resultado para cada componente de $x$. Esto nos da: $$f(b) - f(a) = \left(\frac{\partial f(x_1)}{\partial c_1} + \frac{\partial f(x_2)}{\partial c_2} + ... + \frac{\partial f(x_n)}{\partial c_n} \right)(b-a)$$ Tenga en cuenta que el término en el lado derecho de la igualdad es sólo $\nabla f(c) \cdot (b-a)$, por lo que sabemos que existe cierta $c$: $$f(b) - f(a) = \nabla f(c) \cdot (b-a)$$

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Tengo casi nulo idea de dónde me salió mal (pero, al parecer, todo mal). Estoy muy confundido.

Answer 1

mmh, si $x_i$ $i$- ésima coordenada de $x$, entonces usted no puede calcular el $f(x)$$\sum_i f(x_i)$. Pensar $f(x,y)=xy$. $f(1,1)=1$ pero $f(0,1)=f(1,0)=0$. Parece que no está tan claro) que usted está asumiendo algunos lineal de propiedad sobre $f$.

Si este es el caso, su razonamiento está en ruinas desde el principio. De hecho, el enfoque correcto para este ejercicio es la combinación de la función de $f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ con la función de $h$ (el segmento) $h: (0,1) \to \mathbb{R}^n$ para obtener una función de $f(h(t)) :[0,1] \to \mathbb{R}$ para los que el valor medio teorema tiene)

Voy a añadir algunos consejos para una correcta resolución de Primero de todos, el valor medio teorema vale para funciones de $U \subseteq \mathbb{R} \to \mathbb{R}$. (es muy fácil ver - incluso gráficamente, que aún en 2 dimensiones hay un montón de contraejemplos). Así que el primer paso es la construcción de dicha función. La idea es observar $f$ en la dirección del segmento de $g: [0,1] \to \mathbb{R}^n \ g(t) = a+(b-a)t$, de esta manera, se puede "considerar" $f$ como una función de $\mathbb{R} \to \mathbb{R}$. La formalización de este razonamiento es hacer que la composición de las dos funciones mencionadas anteriormente para obtener $$g:= f(h(t)) : [0,1] \to \mathbb{R} $$. It's easy to see that $g$ is differentiable and you need to apply to it the mean value theorem. So the problem is, how to compute $g'$? Aquí viene en ayuda de la regla de la cadena :)

Answer 2

Está escrito $$ \frac{f(b_i) - f(a_i)}{b_i - a_i} = \dots $$ ¿Qué se supone que eso significa? $f$ es una función de $n$ variables. Se establece el $i$th variable igual a$a_i$$b_i$. ¿Qué pasa con todas las otras variables? ¿Qué son iguales en esta fórmula? Están siendo variable?

Lo siento, creo que estás de suerte. No parcial de crédito aquí.