Si la continuidad conserva la convergencia, y secuencias de Cauchy son secuencias convergentes, ¿por qué necesitamos uniforme de continuidad para preservar secuencias de Cauchy?

Question

En $\mathbb R$, todas las secuencias de Cauchy son convergentes y todas las secuencias convergentes son de Cauchy. Así que, ¿por qué no la continuidad suficiente como para conservar secuencias de Cauchy?

Una función es continua en el fib conserva secuencias convergentes.

Una sucesión es convergente si es de Cauchy.

Así que, ¿por qué no se sigue que las funciones continuas preservar secuencias de Cauchy?

Answer 1

¿por qué no la continuidad suficiente como para conservar secuencias de Cauchy?

Porque, en general, no es dado que el límite de la secuencia pertenece al dominio de la función.

La implicación $$\lim_{n\to\infty} x_n= x\quad \Longrightarrow\quad \lim_{n\to\infty} f(x_n)= f(x)$$ requiere de $x_n,x\in D(f)$. Por lo tanto, si $x\notin D(f)$, este argumento no funciona (un contraejemplo fue dado en los comentarios de tu post). De hecho, en este caso se necesita una condición adicional (ver el primer comentario abajo).

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Editar

Vamos a analizar su argumento:

Reclamo: funciones Continuas preservar secuencias de Cauchy.

Puf: Vamos a $X$ ser un subconjunto de a $\mathbb R$. Deje $f:X\to\mathbb R$ ser una función continua. Deje $(x_n)$ ser una secuencia de Cauchy.

Queremos mostrar que $(f(x_n))$ es de Cauchy.

1. Como (real) de la secuencia es convergente si es de Cauchy, existe $x_0\in\mathbb R$ tal que $$\lim_{n\to\infty}x_n=x_0.\tag{$*$}$$

2. Como la función es continua en el fib conserva secuencias convergentes, existe $L\in\mathbb R$ tal que $$\lim_{n\to\infty}f(x_n)=L.$$

3. Como (real) de la secuencia es convergente si es de Cauchy, llegamos a la conclusión de que $(f(x_n))$ es de Cauchy.

El problema está en el paso 2 que, en general, no se sigue de $(*)$. Si $x_0$ pertenece a $X$, entonces es cierto (con $L=f(x_0)$) pero, en general, no podemos garantizar la existencia de $L$.