Los Máximos locales en esta función

Question

Hice el siguiente problema en clase $f(x)=x\sqrt{x+2}$ y necesitaba encontrar el máximo local. Me dijo que el dominio se $[-2,\infty)$, y la izquierda punto final $(-2,0)$ en el gráfico es un máximo local debido a que la gráfica tiene un negativo derivado de allí, pero mi instructor dijo que estaba mal.

¿Por qué es que el punto final no es un máximo local?

Gracias

Answer 1

En el punto $(-2, 0)$, $f'(x)$ no está definido. Así que la razón de que la derivada no es negativo, es incorrecta. Sin embargo, los extremos suelen ser considerados "puntos críticos" que pueden ser candidatos para un extremos locales. Los extremos no son necesariamente los extremos locales, aunque.

En este caso, el extremo de $(-2, 0)$ es un máximo local, ya que $f(−2)=0$$f(x)<0$$x\in (−2,0)$. Así que es un local maximumum, pero no por la razón que das.

Answer 2

Demasiado largo para un comentario...al parecer:

Una función no puede tener una derivada en un punto que tiene algunas nieghbourhood (o incluso algunos unilateral de vecindad, como en este caso!) donde la función no está definida. Por lo $\,f'(-2)\,$ no existe en este caso y que tal vez es la razón de que les dijo que estaban equivocados.

Ahora, la función no tiene un máximo local en a$\,(-2,0)\,$, pero las razones son: (1) los puntos finales son siempre los extremos de los puntos, por definición, y (2) la función claramente comienza "going down", como es el derecho negativo-cerca de las $\,x=-2\,$ .

Answer 3

Un máximo local de la función $f$ a un punto de $x = c$ debe satisfacer: $f'(x) > 0$ $x < c$ $f'(x) < 0$ $x > c$ para un intervalo abierto que contiene a $c$.

En tu caso, no hay ningún intervalo abierto que contiene a $-2$ por lo que no puede ser un máximo local.

Se refieren a esto: http://en.wikipedia.org/wiki/Maxima_and_minimay esto: http://mathworld.wolfram.com/LocalMaximum.html.

Answer 4

Puede tener un máximo local sólo si es continua y definida en algún intervalo adyacente a ella tanto en la izquierda y la derecha. Por lo tanto, podría ser llamado un máximo absoluto (pero no en este caso) en un punto como este, que está en el borde de la función de dominio, pero no un LOCAL de max/min.