El uso de retracción para mostrar que:

Question

Deje $f:\mathbb{S^2} \rightarrow \mathbb{R^2} \diagdown \{(0,0)\}$ una aplicación continua. Una prueba de que no es $(x_0,y_0,z_0)\in \mathbb{S^2}$ tal que $f(x_0,y_0,z_0)=\lambda(x_0,y_0)$ algunos $\lambda \in \mathbb{R} $.

Answer 1

Supongamos que la afirmación no se sostiene, entonces, podemos definir $$f_t(x)=\frac{tf(x)+(1-t)x}{|tf(x)+(1-t)x|}, S^2\to S^2$$ Desde $f_0(x)=x, \quad f_1=f(x)/|f(x)|$, considerar el grado obtendrá una contradicción.

Answer 2

Deje $r\colon\mathbb{R}^2\setminus\{0\}\rightarrow S^1$ ser dado por $r(x,y)=(x,y)/||(x,y)||$. Nos corregir algunos $z_0\in(-1,1)$ y deje $S(z_0)=\{(x,y,z_0)\in S^2\}$ y tenga en cuenta que $r\circ f|_{S(z_0)}$ es un mapa a partir de un círculo, el círculo y, debido a $f$ es homotópica a la constante mapa, por lo que es $r\circ f|_{S(z_0)}$. Es un hecho general que un mapa desde el círculo a sí mismo que no es surjective tiene un punto fijo.

Usted, a continuación, sólo requieren para mostrar que un $z_0$ existe tal que $r\circ f|_{S(z_0)}$ no es surjective. Esto es fácil, porque aunque $S(1)$ es un punto y así que usted puede elegir algunos de los $z_0$ lo suficientemente cerca de a$1$, de modo que $r\circ f|_{S(z_0)}$ no es surjective (esto está garantizado por la continuidad de la $f$). El punto fijo, $(x_0,y_0)$ de este mapa, junto con la elegida $z_0$ es entonces el punto que se asigna a $\lambda(x_0,y_0)$ algunos $\lambda$.