¿Cómo depende el índice de refracción del aire de la temperatura? ¿Existe una derivación teórica del mismo?
El índice de refracción del aire es fácil, porque el aire es un gas diluido con un índice de refracción muy pequeño, que viene dado por:
$$ n = 1-\sum n_i \delta_i(k) $$
para números de onda pequeños k. $n_i$ son la densidad numérica de cada especie de molécula, y $\delta_i$ es la contribución al índice de esta especie molecular. Se puede utilizar simplemente N 2 y O 2 para conseguir un ajuste lo suficientemente bueno, e incluir el CO 2 y H 2 O para un mejor ajuste.
En el límite del gas ideal, que es casi perfecto para el aire, $n={P\over kT}$ . Si duplicas la presión, duplicas la desviación de 1. Si duplicas la temperatura, reduces a la mitad la desviación de 1, porque todos los componentes van con la misma ley de los gases ideales:
Por tanto, la fórmula del índice de longitud de onda larga del aire es
$$ \boxed{n(P,T) = 1 + .000293 \times {P\over P_0}{T_0\over T}} $$
Dónde $P_0$ es la presión atmosférica, y $T_0$ es la temperatura estándar de 300K. y esto es esencialmente exacto a todos los efectos prácticos, las correcciones son insignificantes lejos del oxígeno/nitrógeno/agua/CO 2 resonancias, y cualquier desviación de la fórmula se deberá a la variación de la humedad.
Las contribuciones reales $\delta_i$ requiere la amplitud de dispersión frontal para la luz en una molécula diatómica. Esto va más allá de lo que se puede hacer con lápiz y papel, pero está al alcance de las simulaciones.
Para leer sobre la relación entre el índice de refracción y la dispersión frontal, véase Feynman, Richard P.; Acta Physica Polonica 24, 697 (1963).
""En el límite de los gases ideales, que es casi perfecto para el aire, las densidades son independientes de la temperatura"" Esto es una tontería. ¿Qué tal si te concentras en temas de los que sabes algo?
@George: Quise decir que la temperatura T es función sólo de la velocidad molecular, no de la densidad, pero tienes razón, la fórmula final tenía un error idiota, porque está expresada en términos de presión y temperatura. Lo he corregido. La razón por la que no me concentro en un subecto frente a otro es que lo sé todo.
La forma general de dicha dependencia se conoce para muchos tipos de sustancias diferentes, pero los valores exactos no son derivables teóricamente, que yo sepa. Lo que se busca es la _dependiente de la temperatura Ecuación de Sellmeier_ pero las constantes de todas las ecuaciones de Sellmeier para cualquier sustancia se ajustan siempre a los datos experimentales.
Este es un muy buen resumen de todos los trabajos disponibles en este ámbito. Leyendo esto, parece que el trabajo de Jones de 1981 ( de libre acceso (ya que fue un trabajo del gobierno estadounidense en lo que entonces se llamaba la Oficina Nacional de Estándares) contiene una fórmula para el índice de refracción del aire en función de la temperatura y la presión, entre otras cosas, aunque no parece adoptar la forma de la ecuación de Sellmeier.
Nada. Sin embargo, he visto a menudo una ecuación para el índice de refracción en función de la longitud de onda y temperatura que tiene unos términos vagamente parecidos a los de Sellmeier, llamados vagamente "ecuación de Sellmeier dependiente de la temperatura", como la he llamado anteriormente. He aquí un ejemplo: Optics & Laser Technology, 38, 192-195 (2006).
Existe una calculadora en línea cuyos parámetros no son sólo la temperatura del aire, sino también la longitud de onda, la presión atmosférica, la humedad y el CO 2 contenido:
https://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Ciddor.asp
Otra fórmula sin CO 2 parámetro de contenido:
https://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Edlen.asp
La página https://aty.sdsu.edu/explain/atmos_refr/air_refr.html (gracias a la respuesta de @ptomato) explica la investigación empírica que hay detrás de estas y otras fórmulas. (También explica por qué las fórmulas originales de Edlén no deberían seguir utilizándose. Tenga en cuenta que el enlace anterior utiliza una fórmula de Edlén modificada, que los autores explican aquí: https://emtoolbox.nist.gov/Wavelength/Documentation.asp (Aunque también sin derivaciones teóricas).
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Si realmente lo necesita, consulte, por ejemplo, este artículo de 1967 de James Owens, opticsinfobase.org/abstract.cfm?uri=ao-6-1-51 - Pero está claro que el índice de refracción no sólo depende de la temperatura, sino también de la presión, la composición y, en sentido estricto, también de la longitud de onda de la luz. Es ingenuo pensar que existe una función "exacta" porque lo que preguntas es un problema muy complicado que depende de la definición de "aire" (composición), "luz" (frecuencia) y muchas otras cosas. Está claro que la densidad de las moléculas importará mucho, pero también importarán otras cosas.