Una versión del teorema de Riemann

Question

Supongamos que la serie de $\sum^\infty_{n=1} u_n=s$ converge condicionalmente. A continuación, para cada una de las $s'\gt s$ existe una permutación de los enteros positivos $\sigma:\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ tal que

1. si $u_n\geq 0,$ $\sigma(n)=n;$

2. $\sum^\infty_{n=1} u_{\sigma(n)}=s'.$

El estándar de prueba de Riemann del teorema de falla debido a la condición (1). Yo conozco una construcción que puede dar necesarios permutación, pero no sé cómo probar la convergencia. La construcción es como sigue.

Denotar $I_+=\{n\in \mathbb{N}:u_n\geq 0\}, \ I_-=\{n\in \mathbb{N}:u_n\lt 0\}$ - posiciones de positivo y negativo, respectivamente. Elija conjunto infinito $F\subset I_-,$ tal que $\sum\limits_{n\in F} u_n\gt-\infty.$ La permutación $\sigma$ se construye inductivamente. Para todos los $n\in I_+$ definir $\sigma(n)=n.$ el Próximo, en cada posición $n\in I_-$ permutación $\sigma$ pone elementos de $F$ en su orden. Existe primer número $n_1$ tal que $\sum\limits^{n_1}_{n=1} u_{\sigma(n)}\gt s'.$ La existencia de la siguiente manera a partir de la divergencia $\sum\limits_{n\in I_+} u_n=\infty$ y la convergencia $\sum\limits_{n\in F} u_n\gt-\infty.$ Después $n_1$ en cada una de las $n\in I_-$ permutación $\sigma$ pone elementos de $I_-$ que no se han utilizado antes en su orden. Existe primer número $n_2$ tal que $\sum\limits^{n_2}_{n=1} u_{\sigma(n)}\lt s'.$ Existencia se deduce del hecho de que a partir de algún momento vamos a obtener la permutación de la serie, que los cambios sólo número finito de puntos y converge a $s\lt s'.$ Después $n_2$ en cada posición $n\in I_-$ poner elementos de $F,$ que no se han utilizado antes, hasta que el primer momento $n_3$ que $\sum\limits^{n_3}_{n=1} u_{\sigma(n)}\gt s'.$ Y así sucesivamente.

Sé cómo probar la convergencia de las sumas parciales de las series nuevas a $s'$ para los índices de $n\in[n_{2p},n_{2p+1}],$ (donde sumas menos de $s'$). Es posible que infinitamente a menudo sumas parciales superará algunos $s'+\varepsilon?$

Answer 1

Esta pregunta ya fue respondida en MO: http://mathoverflow.net/questions/47589/

Estoy publicando esto como un CW respuesta para evitar golpes por parte de la Comunidad.

Answer 2

La prueba de que he encontrado para este ejercicio es bastante largo y difícil, y no sé de una forma más simple o elegante. No hay suficiente espacio aquí para describir en detalles. Sin embargo, mi enfoque fue de esta manera : por la recurrencia, el principio es mover el grande términos negativos hacia el infinito y reemplazarlos por otros más pequeños y, a continuación, la suma de los enfoques y, finalmente, pasa estrictamente por encima de $s'$. Tan pronto como sucede empezar a usar más pequeños en términos negativos hasta que va a continuación de $s'$ nuevo. Entonces usted tiene que demostrar que este comportamiento oscilante es en realidad la convergencia hacia la $s'$ con más y más pequeña oscilación que no es muy difícil Y que en realidad tienen bijection al final sin términos negativos empujado de forma indefinida. El control de la "sustitución" de la fase tiene que ser cuidadoso para la recurrencia a trabajar y realmente tener un bijection en la final. La manera en que lo hice fue cada vez que yo quería que la suma de aumentar puse el negativo de términos de distancia, en un búfer de uno por uno y en orden del índice. A continuación, tan pronto como estoy por encima de $s'$, puedo reemplazar los términos negativos por los que están en el buffer FIFO, si los hubiere. En el final, porque la serie es convergente uno, estoy seguro de que las oscilaciones disminuye y el buffer se utiliza.