"La Pureza De La Esencia, La Mandrágora, La Pureza De La Esencia . . . "; El General Jack de Ripper, de Stanley Kubrick Dr. Strangelove . . .
Es en el interés de la preservación de Matemática de la Pureza De la Esencia que me siento obligado a señalar que ninguno de los dos a la raíz de las parcelas proporcionada por nuestros OP stil es correcta, para cada uno de ellos representar tanto $1$ $-1$ como raíces de $z^6 = -1$$z^{18} = -1$, mientras que en realidad, ni $1$ ni $-1$ son raíces de la ecuación: $1^6 = (-1)^6 = 1^{18} = (-1)^{18} = 1 \ne -1$. No sé qué pasa con Wolfram Alpha si se está diciendo que estos son la raíz de las parcelas de $z^6 = -1 = z^{18}$; pero para todos los enteros positivos $n$ es fácil escriba $z^n - 1$ en lugar de $z^n + 1$, así que tal vez estas parcelas son el resultado de un error de entrada. Me gustaría aquí recitar el antiguo mantra de los programadores de computadoras, GIGO, GIGO, GIGO: entra basura, sale Basura, excepto que estas gráficas geniales son canjeables por una simple rotación de cualquiera de las $\pi / 6$ o $\pi / 18$, es decir, la multiplicación de todos sus valores complejos de puntos por $e^{i\pi / 6}$ o $e^{i \pi /18}$, según se trate de la parcela corresponde a la ecuación de $z^6 = 1$ o $z^{18} = 1$, respectivamente. De hecho, si $z^6 = 1$$(e^{i\pi / 6}z)^6 = e^{i\pi}z^6 = (-1)1 = -1$, con un resultado similar de retención en el caso de $z^{18} = 1$. Así que en lugar de ser basura, estas parcelas son meramente como juguetes rotos que se puede solucionar fácilmente con un poco de magia de cinta o un poco de pegamento.
Habiendo dicho estas cosas, hay una manera fácil de determinar la suma de las raíces de cualquier ecuación de la forma $z^n + a = 0$, para cualquier entero $n \ge 1$ y cualquier $a \in \Bbb C$. Si $n = 1$,$z = -a$, por lo que la suma es $-a$ en este caso. Para $n \ge 2$, vamos a $\alpha_1, \alpha_2, . . . \alpha_n$ ser las raíces de $z^n + a = 0$. Entonces podemos escribir $z^n + a$ como el producto
$z^n + a = \prod_1^n (z - \alpha_i), \tag{1}$
y cuando la mano derecha se multiplica a cabo obtenemos
$z^n + a = \prod_1^n (z - \alpha_i) = z^n - (\sum_1^n \alpha_i)z^{n - 1} + \sum_{i, j = 1, i \ne j}^n \alpha_i \alpha_j + . . . + (-1)^n \prod_1^n \alpha_i; \tag{2}$
la comparación de los coeficientes vemos que $\sum_1^n \alpha_i = 0$, $(-1)^n \prod_1^n \alpha_i = a$, y un montón de otras cosas además. Mucho más sencillo que trabajar con polinomios trigonométricos, como pienso que probablemente estarán de acuerdo! Fiable, también!
Espero que esto ayude. ¡Hasta la vista,
y como siempre,
Fiat Lux!!!
