Hay una razón Halmos definido continuación en bien de conjuntos ordenados, pero no el total de los conjuntos ordenados?

Question

En la Ingenua Teoría de conjuntos, el Dr. Paul Halmos define a continuación para bien de conjuntos ordenados como tales (puntos de viñeta es mía):

Decimos que un conjunto ordenado $A$ es una continuación de un conjunto ordenado $B$ si

• $B \subset A$,
• $B$ es un segmento inicial de $A$, y
• El ordenamiento de los elementos en $B$ es el mismo que su pedido en $A$.

No estoy seguro de por qué necesitamos bien de pedidos para esta propiedad. Por ejemplo, me parece que debería ser capaz de describir $\{ z \in \mathbb{Z} : z \leq 100 \}$ como una continuación de $\{ z \in \mathbb{Z} : z \leq 1 \}$, en virtud de la costumbre de ordenar.

Estos no son conjuntos ordenados, ya que tienen subconjuntos sin por lo menos un elemento, pero parecen satisfacer cualquier otra condición.

Hay una razón para definir esto en bien de conjuntos ordenados específicamente?

Gracias de antemano.

Answer 1

No hay ninguna necesidad de que la definición de ser específica para el bien de conjuntos ordenados. Halmos es la introducción de esta restricción adicional porque él sólo vamos a utilizar el concepto de bien de conjuntos ordenados, y porque él quiere que sea implícita cada vez que usted vea "continuidad" que se trata de un bien ordenamientos, en lugar de él tener que especificar cada vez.

Answer 2

Nos gustaría que, en general, para las propiedades de las órdenes que será conservada por el fin de la preservación de los mapas, es decir, queremos que sea el orden que importa, no los elementos. Los dos conjuntos de nombre, $\{z \in \mathbb{Z} : z \leq 100\}$$\{z \in \mathbb{Z} : z \leq 1\}$, son de orden-isomorfos; sólo difieren en los elementos, no en la estructura.

La propiedad "$A$ es una continuación de $B$" es una propiedad de la orden - si $A$ es una continuación de $B$ y ambos están bien los pedidos, a continuación, $A$ $B$ son tanto isomorfo a los números ordinales y el ordinal de $B$ es mayor que el ordinal de $A$. En su propuesta de cambio, de "continuación" sería una propiedad del conjunto particular; posiblemente una idea interesante de todos modos, pero no es lo que solemos tener cuando se habla bien de los pedidos.

Answer 3

Sí, estás en lo correcto. Usted puede definir la noción de "fin-de extensión" en ningún sentido de un orden lineal: $A$ es una extensión de $B$ si $B$ es un segmento inicial de $A$.

Y sí, que la definición que hace mérito algún tipo de interés. Por ejemplo, dos modelos contables de la aritmética de Peano (el "estándar de la teoría de los números naturales") son de orden-isomorfo, o uno de ellos es un segmento inicial de la otra de tipo $\Bbb N$. En particular, puede tener dos modelos de $M$ $M'$ tal que $M$ es un segmento inicial de $M'$, y son isomorfos como lineal órdenes, pero no son isomorfos como modelos de $\sf PA$.

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Sin embargo, fuera del dominio de las órdenes, como Reese comentarios en su respuesta, la noción de extensión puede llegar a ser un poco trivializado: podría ser que un orden lineal es isomorfo a uno de sus extremos-extensiones (por ejemplo, $(-\infty,0)$ $\Bbb R$ o$\{x\in\Bbb Z\mid x\leq 1\}$$\{x\in\Bbb Z\mid x\leq 100\}$).

En el contexto de las órdenes, sin conjunto ordenado es isomorfo a alguno de su propia segmentos inicial. Así que una continuación no añade elementos, o cambios en la estructura del isomorfismo tipo. Y esto es muy útil, y obtiene explotado más tarde (aunque en Halmos libro no tanto como debería ser, ya que en realidad no hablar de los ordinales).