A la derecha del Triángulo y Círculo Teorema de

Question

Deje $ABC$ ser un triagnle tal que $\angle BAC$ es un ángulo recto. Supongamos $D$ es un punto de mentir en $BC$ tal que $BD=1$, $DC =3$ y $\angle ADB=60^{\circ}$, hallar la longitud de $AC$.

Me dijeron que hay una manera impecable solv la pregunta teniendo en cuenta la circunferencia circunscrita de $\triangle ABC$. Desde $\angle BAC=90^{\circ}$, $BC$ debe ser de un diámetro. Deje $M$ ser el punto medio punto de $BC$, entonces es el centro de la circunferencia circunscrita. Pero entonces yo no podía ver nada sustancial, por favor ayuda,

Answer 1

Vamos a AQ ser una cuerda perpendicular a BC de corte AC en P.

Si $PD = x$, $BP = 1 – x, QP = PA = \sqrt 3 x$ y $AD = 2x$ [$\triangle APD$ es especial en ángulo.]

En $P, (1 – x)(x + 3) = (\sqrt 3 x)^2$.

Esto le da a $x = \dfrac {\sqrt {13} - 1}{4}$, después de rechazar la negativa de longitud

De $\triangle APO$, $(\sqrt 3 x)^2 = 2^2 – (1 – x)^2$ ... (*)

De $\triangle APC, AC^2 = (\sqrt 3 x)^2 + (x + 3)^2$ ... (#)

La combinación de (*) y (#), tenemos $AD^2 = 4x + 12$.

Resultado de la siguiente manera después de poner el valor de $x$.

Answer 2

La circunferencia circunscrita proporciona un buen enfoque. $|DM|=1$, $|AM|=2$, y $|MC|=2$. Porque $\angle ADB = 60^{\circ}$, $\angle ADM = 120^{\circ}$. Luego podemos encontrar $\angle DAM$ usando la ley de los senos:

$$\frac{\sin{\angle DAM}}{|DM|} = \frac{\sin{\angle ADM}}{|AM|} \implies \sin{\angle DAM} = \frac12 \sin{120^{\circ}} = \frac{\sqrt{3}}{4} $$

Por consiguiente, se puede encontrar $\angle AMD = 180^{\circ} - \angle DAM - \angle ADM$ y, por tanto,$\angle AMC = 180^{\circ} - \angle AMD = \angle DAM + \angle ADM$. Ahora podemos usar la ley de los cosenos para encontrar $|AC|$:

$$\begin{align}|AC|^2 &= |AM|^2+|MC|^2 - 2 |AC| |AM| \cos{\angle AMC}\\&= 2^3 [1- \cos{(120^{\circ}+\angle DAM)}]\\&= 16 \sin^2{\left (60^{\circ}+\frac12 \angle DAM \right )}\\ &= 4 \left (\sin^2{\left (\frac12 \angle DAM \right )}+3 \sin^2{\left (\frac12 \angle DAM \right )} + \sqrt{3} \sin{\angle DAM}\right ) \\ &= 4 \left (\frac{4-\sqrt{13}}{8} + \frac{12+3 \sqrt{13}}{8} + \frac34 \right ) \\ &= 11+\sqrt{13} \end{align}$$

Así

$$|AC| = \sqrt{11+\sqrt{13}} $$

ANEXO

Esto es aún más fácil cuando uno ve que $\angle ABC = 1/2 \angle AMC$. También, el resultado anterior que tenía era correcto, pero no simplificado bastante.

Answer 3

constuct un círculo de radio $2,$ centerd en $0. D = (1,0), B = (2,0), c = (-2,0)$

constuct un vector v en un ángulo de 60 grados con la cola en la D.

$A = (1 + |v| \cos 60, |v| \sen 60)\\ |A|^2 = 1 + |v| + \frac 14 |v|^2 + \frac34 |v|^2 = 2^2\\ |v|^2 + |v| - 3 = 0$

utilizar el binomio theorm.

$|v| = \frac{-1 + \sqrt{13}}{2}\\ |AC| = \sqrt{(3 + |v| \cos 60)^2 + |v|^2 \sin^2 60}\\ \sqrt{9 + 3|v| + |v|^2)}\\ \sqrt{12 + 2|v| + (-3 + |v| + |v|^2)}\\ \sqrt{12 + 2|v|}\\ \sqrt{11 + \sqrt{13}}\\ $