Si uno come de $100$ chocolates en $58$ de días,entonces él debe estar comiendo exactamente 15 chocolates en algunos días consecutivos

Question

BdMO De 2014 Nacionales

$X$ come 100 chocolates en 58 días,comer al menos 1 de chocolate por día.Demostrar que,en algunos días consecutivos,comía exactamente 15 chocolates.

He intentado utilizar el principio del palomar pero eso no es ayudar.Una sugerencia(no es toda la solución) será muy apreciada.

Answer 1

Creo 57 o más y al menos 100 chocolates es suficiente para obtener la conclusión, si hay al menos uno de chocolate comido por día.

Al final de cada día hay algún número total de chocolates que se ha comido.
El conjunto de todos los totales incluye la $0$$100$, e $57$ otros distintos números enteros de $1$$99$. En términos de este conjunto, la pregunta es...

...de cómo es de grande un subconjunto de los números enteros entre el $0$ $100$ incluyente, en particular $0$$100$, es necesario para garantizar un par exactamente $15$ aparte?

Un máximo de 15 libre de conjunto es la unión de $[0,14]$$[30,44]$$[60,74]$$[90,100]$, para un total de $15+15+15+11 = 56$ números. Esto es ideal porque tiene el número máximo de elementos en cada una progresión aritmética con un espaciado de $15$, y todas esas progresiones puede ser llenado independientes el uno del otro.