Denota todas las raíces cúbicas de un número real

Question

Esta puede ser una muy simple pregunta, pero estoy confundido con estas definiciones y quisiera aclarar aquí.

$\sqrt{81}=9$ Pero $\sqrt{81}\ne -9$ porque $\sqrt{}$ se utiliza para representar el director de la raíz.

Por lo tanto, Si quiero representar las raíces, tengo que mencionarlo como $\pm\sqrt{81}=\pm9$

Sabemos que cada número real ($\ne 0$) tiene tres raíces cúbicas, una real y dos complejas. Así, si decimos $\sqrt[3]27$ , significa que el director de la raíz cúbica que es $3$

Si es así,

(a) ¿cómo nos indican que nos estamos refiriendo a todas las tres raíces cúbicas juntos (como $\pm \sqrt{81}$ para las raíces cuadradas) debido a $\sqrt[3]{}$ se refiere únicamente a la principal raíz cúbica

(b) ¿por Qué no es común pautas aceptadas para decidir el principal raíz cúbica debido a que en algunos lugares, es el número real mientras que algunos los libros se refieren a la una en positivo del eje imaginario.

Por favor ayudarme a despejar mis dudas

Answer 1

Parece haber un cierto consenso entre los seres humanos que $$\omega = \frac{-1}{2} + \frac{\sqrt{-3}}{2}$$ represents a complex cubic root of $1$. (Me personally I sometimes like to use 垰 for this purpose, just to be cryptic). Then you can use $\omega$ to help you represent the complex cubic roots of other real numbers. In a pinch, you can even use $w$, but then it would probably be better to write out "omega".

For example, $\root 3 \de 2$ represents the real cubic root of $2$, $(\de la raíz 3 \2) \omega$ represents the complex cubic root in the negative-positive quadrant of the complex plane, and $(\root 3 \2) \omega^2$ represents the complex cubic root in the negative-negative quadrant of the complex plane.

Or, to use your example of $27$, we have $3$ as the real cubic root, $3 \omega$ and $3 \omega^2$ son el complejo cúbico raíces. Pruebe esta consulta en Wolfram Alpha: (3(-1/2 + sqrt(-3)/2)^2)^3, y, a continuación, intente después de la eliminación de ^2.