Cómo demostrar que una función continua es idénticamente cero sobre $\mathbb{R}$ ?

Question

El siguiente problema se plantea a nivel de un curso de análisis de último curso de licenciatura:

Se nos da una función continua $g:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ . Supongamos que $\mathbb{R}$ contiene un subconjunto contablemente infinito $G$ tal que: $\int_{a}^{b}g(x)dx=0$ si $a$ y $b$ no están en $G$ . Demostrar que $g$ es la función cero.

Mi intento: Sin pérdida de generalidad, supongo que mi función sólo tiene una parte positiva y otra negativa sobre $\mathbb{R}$ . Rompí mi función $g(x)$ en dos funciones: $g_{+}(x)$ que es igual a $0$ cuando $g(x)$ es negativo e igual a $g(x)$ cuando $g(x)$ es positivo. Del mismo modo, defino $g_{-}(x)$ sea cero cuando $g(x)$ es positivo e igual a $g(x)$ cuando $g(x)$ es negativo. Ahora, llamo $A_{+}$ el subconjunto de $\mathbb{R}$ donde $g(x)$ es positivo, y $A_{-}$ el subconjunto de $\mathbb{R}$ donde $g(x)$ es negativo. Entonces, estoy tratando de probar que para cualquier $a< b$ sur $A_{+}$ : $\int_{a}^{b}g_{+}(x)dx=0$ (Esto es obvio si $a$ y $b$ no están en $G$ pero el problema es cuando uno de ellos, o ambos, no están en el mercado. $G$ ) y puesto que $g_{+}(x)\geq 0$ para cualquier $x\in \left [ a,b \right ]$ entonces $g_{+}(x)=0 $ para todos $x\in \left [ a,b \right ]$ . Lo mismo ocurre con la parte negativa. Por lo tanto, estoy atascado en este punto.

¿Alguien puede decir cómo avanzar y solucionar el problema? Además, si alguien tiene una manera más fácil de resolver el problema, por favor comparta.

Answer 1

Supongamos que $g(x_0)\neq 0$ para algunos $x_0\in\mathbb R$ . Sin pérdida de generalidad, podemos suponer que $g(x_0)>0$ de lo contrario, considere $-g$ . Por continuidad, podemos encontrar un $\delta>0$ tal que si $|x-x_0|\leq \delta$ entonces $g(x)\geq \frac{g(x_0)}2$ . Desde $(x_0-\delta,x_0)$ y $(x_0,x_0+\delta)$ son incontables, podemos encontrar $a\in (x_0-\delta,x_0)\cap G^c$ y $b\in (x_0,x_0+\delta)\cap G^c$ . Conseguimos que $$0=\int_a^bg(x)dx\geq (b-a)\frac{g(x_0)}2>0, $$ una contradicción.

Answer 2

El complemento de $G$ es denso en $\mathbb{R}$ y la integral es una función continua de $a$ y $b$ .

Answer 3

Supongamos por contradicción que $g(x)$ es en algún lugar distinto de cero, por lo que, sin pérdida de generalidad, dejemos que $g(0) = c > 0$ . Entonces, por continuidad, existe una vecindad de $0$ donde $g$ está dentro de un determinado rango de $c$ como $g(x) > c/2$ en $(-\epsilon, \epsilon)$ . El complemento de $G$ es denso sobre $\mathbb{R}$ así que elige dos puntos $a < b \in (-\epsilon, \epsilon)$ que no están en $G$ y mira la integral $$ \int_a^b g(x)dx.$$ Para demostrar que el complemento de $G$ es denso en todas partes, puede que necesites usar otra prueba por contradicción. Si no fuera denso, entonces $G$ tendría un intervalo contiguo en alguna parte, es decir, un conjunto de medida positiva, que sería necesariamente incontable.

Espero que le sirva de ayuda.