Mi propia prueba de "Cada barrio está abierto" (Rudin definición)

Question

Previamente, alguien publicó su prueba de "cada barrio está abierto" aquí. Me estoy centrando en la misma sentencia, pero parece que mi enfoque es diferente a la de su (de él/ella. Podría alguien comentar sobre mi propia prueba? Aquí vamos:

Deje $X$ ser un espacio métrico y $p\in X$. Fix $r>0$. Definir una vecindad alrededor de $p$$N_r (p)=\{q\in X| d(p, q)<r\}$. Ahora, tome $w = \frac{r}{2}$. A continuación, $N_w (p)\subset N_r(p)$. En otras palabras, cada punto de $N_r(p)$ es interior. Por lo tanto, $N_r (p)$ está abierto. Desde $r$ es arbitrario, esto demuestra cada barrio está abierto.

Actualización:

Bajo mi definición de "barrio", puedo probar en este lugar: Para todos los $m\in N_r(p)$, tome $w=\frac{r−d(m,p)}{2}$. A continuación, $N_w(m)\subset N_r(p)$.

Update2

A partir de las sugerencias dadas en los comentarios, me soluciona:

Suponga $m\in N_r(p)$$q\in N_w(m)$. Tome $w=r-d(m, p)$. A continuación, $d(p, q)\leq d(p, m) + d(m, q)< d(p, m) + r-d(m,p) =r$.

Gracias a @JoséCarlosSantos y @fleablood !

Answer 1

En primer lugar, usted puede llamar a ese barrio, si lo desea, pero eso no es la definición estándar de la vecindad. Así, la única cosa que usted puede ser que han resultado fue que los conjuntos a los que usted llame a los barrios están abiertas conjuntos.

En segundo lugar, la prueba de que está mal. Todo lo que se demuestra es que existe una bola abierta con centro en p contenida en su conjunto. Sí no demostrar que para cada punto de $N_r(p)$ hay una bola.

Answer 2

Primero de todos, usted no debería decir "definir un barrio".

Que suena como si usted está definiendo el término a ser algo diferente de lo que es. Rudin utiliza esta bola de" definición de "barrio" por lo tanto, aunque otros comentarios y respuestas del objeto, es bueno para DECLARAR $N_r(p)$ a ser un barrio.

Ahora que han demostrado que si $N_{\frac r2}(p)\subset N_r(p)$ $p$ es un punto interior.

Entonces usted dice: "En otras palabras, cada punto de Nr(p) es el interior".

Um, lo que dicen? Desde cuando ha $p$ sido cada punto? $N_r(p)$ contiene puntos que no son $p$. Usted debe probar estos puntos son también los puntos del interior.

La única manera que puedo ver es elegir un $s$, de modo que $N_s(q) \subset N_r(p)$. (Nota: $N_s(q)$ $N_r(p)$ tienen diferentes centros.). Y si usted sabe que $d(p,q) < r$, entonces no es un $s$ que ca se elige de modo que $N_s(q) \subset N_r(p)$. ¿Puedes ver cómo hacerlo?