cartografía conforme, regiones del plano complejo marcadas +/-, hallar la función f,

Question

La imagen muestra lo que la función f: $\mathbb{C}\to\mathbb{C}\cup\infty$ hace al avión.

Los valores 0 en 0, 1 en $\pm$ 1, y $\infty$ en $\pm i$ se especifican.

Para ampliar la imagen: hay un disco unitario, con un signo más en la parte del disco del primer cuadrante, un signo menos en la parte del disco del segundo cuadrante, signo más para el tercer cuadrante y signo menos en el cuarto cuadrante.

Fuera de este disco unitario, hay un signo menos en el primer cuadrante, un signo más en el segundo cuadrante, un signo menos en el tercer cuadrante y un signo más en el cuarto cuadrante.

Ahora, volvamos a la pregunta:

Los signos +/- indican que las regiones así marcadas están mapeadas 1 a 1 en el semiplano superior/inferior.

¿Qué es f? Explica por qué no puede ser de otra manera.

Edita:

Me gustaría publicar una antigua solución a este problema, así como pedir ayuda en los pasos intermedios que estaban implícitos en la propia solución:

Una solución ofrecida por un estudiante fue la siguiente:

Usando el Principio de Reflexión, la función f está totalmente determinada por dónde mapea un único sector de cuarto de círculo, digamos, el sector de cuarto de círculo en el primer cuadrante.

Pregunta nº 1 : ¿Por qué utilizamos el Principio de Reflexión? ¿Es porque, digamos, el primer sector del cuarto de círculo tiene un signo +, por lo que f lo mapea al semiplano superior, y el Principio de Reflexión nos dice de alguna manera que f mapea el sector del cuarto de círculo al semiplano superior? resto del primer cuadrante (fuera del sector del cuarto de círculo), que tiene signo menos, al semiplano inferior? Si es así, ¿cómo sabemos realmente que se cumplen las condiciones para aplicar realmente el Principio de Reflexión? ¿Pensamos que la frontera de este sector de cuarto de círculo es la recta real, donde f toma valores reales y es continua en esta frontera? ¿Cómo podemos aceptarlo? ¿Hacemos algún tipo de transformación intermedia para que la imagen del límite es ¿la línea real? (¿o quizás sólo... de valor real, no necesariamente toda la recta real?)

Si consideramos los mapeos g(z)=z^2 y h(w)=w1/w, este cuarto de círculo se mapea a un semicírculo y luego al semiplano superior, ambos mapeos invertibles.

Pregunta nº 2 : ¿Cómo sabemos que debemos considerar inmediatamente estas dos correspondencias específicas? ¿Por qué no considerar otros mapeados del sector del cuarto de círculo en el primer cuadrante? ¿Por qué son tan convenientes estos dos mapeados?

Por lo tanto, nuestro mapa debe ser de la forma f(z)=Thg donde T mapea desde el semiplano superior hacia el semiplano superior. Tal mapa debe ser una transformación lineal fraccionaria, una consecuencia del Principio del Módulo Máximo / Lemma de Schwarz.

Pregunta nº 3 : ¿En qué momento utilizamos el Principio del Módulo Máximo y el Lemma de Schwarz?

Para determinar de qué T se trata, consideremos ahora los mapeados. $h(g(0))=\infty$ , $h(g(i))=2$ , $h(g(1))=2$ por lo que T debe asignar $\infty$ a 0, 2 a $\infty$ y 2 a 1, por lo que $$T(z)=4/(z-2)$$ y reuniendo los mapas $$f(z)=4z^2/(1+z^2)^2$$

Pregunta nº 4 : ¿Cómo sabemos que T trazará el plano medio superior al plano medio superior? Parece que sólo sabemos lo que hace T... a 3 puntos de preimagen especificados.

Aparentemente, este mapeo final es el cartografía que describe la acción indicada en la imagen, que sólo da signos + y - dentro del disco unitario y fuera de él.

Cualquier ayuda será muy apreciada.

Gracias de antemano,

Answer 1

Q1. La reflexión es algo natural de usar en cualquier límite analítico y no hay diferencia entre el círculo y la recta real porque siempre se puede aplicar una transformación lineal fraccionaria para mapear uno a otro. La razón por la que en los libros se enuncia el principio de reflexión para la recta es simplemente que la fórmula para la recta es la más clara de todas las fórmulas de ese tipo.

Q2. ¿Conoces alguna otra forma de mapear conformacionalmente el cuarto de círculo al semiplano superior? Al tipo le gustaba Joukovsky, por supuesto, pero reducir el número de líneas límite de 3 a 2 es un primer paso inevitable (que es lo que $z^2$ hace), después de lo cual una persona menos sofisticada se limitaría a mover uno de los extremos del diámetro para $\infty$ mediante un mapa lineal fraccionario para obtener un cuadrante, que puede abrirse a un semiplano mediante otra cuadratura. Sin embargo, hay que tener en cuenta que este enfoque desplazaría uno de los puntos que debe permanecer finito hasta el infinito, por lo que habría que recuperarlo posteriormente mediante un mapa lineal fraccionario adicional.

Q3 y Q4. Lo que realmente ocurre aquí es que deberías conocer los mapeados lineales fraccionarios del semiplano superior (o, si lo prefieres, del disco unitario) a sí mismo y la prueba de su clasificación completa (que utiliza el lema de Schwarz) junto con el resultado de que tres puntos cualesquiera de la frontera se pueden mover a otros tres puntos cualesquiera con la misma orientación, pero entonces el mapeado se determina unívocamente. Por lo visto, el tipo se limitó a referirse a todo eso en passe para explicar lo que estaba pasando, pero sin intentar que cada referencia fuera lo más precisa posible (lo cual es normal cuando las dos personas que conversan comparten alusiones y asociaciones comunes, pero que puede hacer que la conversación resulte incomprensible para un tercero). Así pues, relee esos apartados en tu libro de texto o en tus apuntes.