La retirada de la Frobenius mapa y la función de extensión de campos

Question

Sabemos que para dos nonsingular proyectivas de las curvas algebraicas definidas sobre un campo de $\mathbf{k}$, hay un bijection entre no constante morfismos $h: C \to C'$ y la función de los campos de inyecciones $h^* : \mathbf{k}(C') \to \mathbf{k}(C)$ donde $h^*G = G \circ h$. También, si $C$ se define sobre $\overline{\mathbf{F}}_p$, el Frobenius mapa en $C$ es $$ \sigma_p : C \to C^{\sigma_p}, \quad [x_0:\dots:x_n] \mapsto [x_0^p:\dots:x_n^p]. $$

Ahora, en el ejemplo que estoy mirando es $C = \mathbf{P}^1(\overline{\mathbf{F}}_p)$, $\sigma_p(t) = t^p$ sobre el afín parte. El diamante y el Shurman decir que esto le da a la extensión de la función de los campos de $\mathbf{F}_p(t)/\mathbf{F}_p(s)$ donde$s = t^p$, y esto es lo que no entiendo. ¿Por qué es el campo de función $\mathbf{K}$$C$$\overline{\mathbf{F}}_p(t)$, y ¿cómo se contrae $\mathbf{F}_p(s)$ para la función de campo de $C^{\sigma_p}$? Qué necesitamos para calcular la función de campo de manera explícita o la preimagen de la retirada de mapa de $\sigma_p^*$ lugar? Me imagino que la segunda pero no es muy claro para mí cómo se hace exactamente.

Answer 1

Permítanme comenzar diciendo que entiendo su confusión y espero que esta respuesta puede resolverlo. Sin embargo, es un poco de un punto fino y si no puedo, por favor, seleccione el que fuera.

Usted tiene un morfismos $\sigma_p: \Bbb P^1 \to \Bbb P^1$. Nos deja denotar el campo de función de la derecha lado por $\overline{\Bbb F}_p(t)$ y el campo de función de la izquierda lado (dominio de $\sigma_p$)$\overline{\Bbb F}_p(s)$. Ellos son, de hecho, el mismo campo cuando se consideran de manera independiente, es decir, $s$ $t$ juegan el mismo papel para cada uno de ellos respectivamente. Sin embargo, las distintas variables que nos ayudarán a mantener un seguimiento de lo que está sucediendo cuando los vemos en relación el uno al otro.

Tomar la función de $t\in\overline{\Bbb F}_p(t)$, una función racional en la imagen de $\sigma_p$. Podemos entonces calcular su imagen en el mapa de $\sigma_p^\ast$, que es una función en el dominio de $\sigma_p$: $$ \sigma_p^\ast(t)=t\circ \sigma_p=s^p $$ Esto es cierto porque para cualquier punto de $x\in\Bbb A^1\subseteq\Bbb P^1$,$t(\sigma_p(x))=t(x^p)=x^p=s(x)^p$. Ahora, esto significa que el mapa de $\sigma_p^\ast:\overline{\Bbb F}_p(t)\to\overline{\Bbb F}_p(s)$, lo que define su campo de extensión está dada por la asignación de $t$$s^p$, porque no sólo es un campo homomorphism $\overline{\Bbb F}_p$ que lo hace: Esto se deduce del hecho de que sólo hay un $\overline{\Bbb F}_p$-álgebra homomorphism $\overline{\Bbb F}_p[t]\to\overline{\Bbb F}_p(s)$$t\mapsto s^p$, la característica universal del polinomio anillo.

Así que tal vez una mejor manera de entender este homomorphism es aceptar a $s$ como el "más pequeño" de la variable en todo el universo y, a continuación, defina $t:=s^p$. A continuación, el siguiente hallazgo importante es el hecho de que $\overline{\Bbb F}_p(t)$ es todavía un campo de función de una variable, incluso si es "justo" $\overline{\Bbb F}_p(s^p)$.

Para una información más concreta y diferente ejemplo, los campos de $\Bbb Q(\pi)$ $\Bbb Q(\pi^8)$ son tanto isomorfo a $\Bbb Q(t)$ donde $t$ es una forma de variable: Eso es porque tanto $\pi$ $\pi^8$ son trascendentales. Así es $t$, y así es $t^{23453}$. Hay un montón de cosas que se comportan como una variable independiente sobre $\Bbb Q$ o$\overline{\Bbb F}_p$, para el caso.