Inferir el intervalo de convergencia de una convergencia de valor (x) y centro

Question

Si $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(x-5)^n$ converge al$x=3$, ¿qué se puede decir acerca de la convergencia de la siguiente serie?

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(-1)^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n2^n$

La respuesta de los estados que (1) es convergente que nada puede ser determinado sobre (2).

Sé que podría aplicar la prueba de razón de si se me pidió para obtener el intervalo de convergencia de una serie como $\sum \frac{x^2}{n2^n}$. El límite deberá ser inferior a 1 la serie converge. Vamos a llegar a la desigualdad en la $\frac{|x|}{2} < 1$ que los rendimientos de los us $R = 2$ y la desigualdad $-2 < x < 2$.

Sé que una vez que tenemos una desigualdad como la que, una $x$ valor que tiene la desigualdad sería convergente, y $x$ valor que no iba a ser divergentes, y que los extremos no son concluyentes, sin más pruebas.

No entiendo cómo se puede deducir de un intervalo de convergencia de este problema.

Un de potencia de la serie se define como $\sum c_n(x - a)^n$ cuando la serie se centra alrededor de $a$. La radio puede no ser $0$ porque tenemos una $x$ donde $x \neq a$ ($3 \neq 5$). ¿Cómo sé que la serie no converge para todos los $x$, dando un intervalo de $(-\infty, \infty)$?

¿Cómo puedo inferir un radio de saber que $x = 3$ converge y que $a = 5$?

Me imagino que una vez que conozco a un radio, voy a tener una desigualdad de $5 - R < x < 5 + R$.

Answer 1

Estamos dada la convergencia se mantiene a $x=3$, por lo que a partir de la definición de la radio de convergencia, $R \ge 2$.

Para la parte (1), tenemos $-1 = 4-5$$|4-5| = 1 < 2$, por lo que converge.

Ahora, para la parte (2) tenemos que ser un poco más cuidadoso. Desde $R \ge 2$, podemos tener $R > 2$, en cuyo caso se nota $2 = 7-5$ $|7-5| = 2 < R$ y la serie converge, o podemos decir que $R = 2$ y, a continuación, el punto de $x = 7$ está en el límite. Si el punto está en el límite, no podemos determinar de forma concluyente la convergencia de comportamiento, y es cierto que los diferentes puntos de la frontera puede comportarse de manera diferente (por ejemplo, convergen en $x=3$ y divergen en $x = 7$).

Dado que la convergencia está garantizada en el caso de $R > 2$, pero no está garantizada en el caso de $R = 2$, no podemos llegar a una conclusión.

Answer 2

Sabemos que $x = 3$ es convergente por lo $R$ debe ser al menos 2. Sin embargo, no podemos determinar lo que el radio es igual a.

\begin{align} |x - a| &< R\\ -R + a < x &< R + a\\ -R + 5 < x &< R + 5&a&=5\\ 3 \geq x &< 7&R &= 2 \end{align}

Ahora, la serie converge para $|x - a| > R$ y no es concluyente para $|x - a| = R$. Sin embargo, se nos dice que la serie no converge en $x = 3$. Esto resuelve el inconclusion en el lado izquierdo de la última línea, por lo tanto ¿por qué es $3 \geq x$ e no $3 < x$.

$$ \sum c_n(-1)^n \Rightarrow (x - 5) = -1 \Rightarrow x = 4\\ 3 \geq x = 4 < 7 $$

Esta desigualdad se cumple, por lo $\sum c_n (-1)^n$ es convergente.

$$ \sum c_n2^n \Rightarrow (x - 5) = 2 \Rightarrow x = 7\\ 3 \geq 7 < 7 $$

Esta desigualdad no se sostiene, y desde $x$ es igual a nuestro extremo derecho, no se pueden extraer conclusiones acerca de la suma de $\sum c_n 2^n$ .

$$\\\\$$ Otro ejemplo para la posteridad, para llegar al punto de inicio.

Si $\sum_{n=0}^{\infty} c_n2^n$ es convergente, ¿qué puede usted concluir acerca de la convergencia de la siguiente serie?

(1) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(-2)^n$

(2) $\sum_{n=0}^{\infty} c_n(-3)^n$

Si $x=2$ $R$ debe ser al menos 2.

\begin{align} -R + a < x &< R + a\\ -R < x &< R&a&=0\\ -2 < x &\leq 2&R &= 2 \end{align}

Nota de nuevo, el lado derecho es $x \leq 2$ en lugar de $x < 2$ por la misma razón que antes.

\begin{align} -2 < x = -2 \leq 2&\quad(1)\\ -2 < x = -3 \leq 2&\quad(2) \end{align}

Ambos de estos no son concluyentes. Si el radio fue mayor de 2-y nosotros no tenemos nada que nos diga que no lo es, a continuación, $x = 2$ todavía se mantienen (como sería en el interior del intervalo de convergencia), pero nosotros no podemos hacer conclusiones acerca de la $x=-2$ o $x=-3$.