Derivada parcial sin sentido

Question

La función en cuestión es

$$f(x,y) = \begin{cases} 0 & (x,y)=(0,0)\\ \frac{xy}{|x|+|y|} & (x,y) \neq (0,0) \end{cases} $$

Hasta ahora he calculado la continuidad de la función en $(0,0)$ utilizando el teorema de la compresión con las funciones $xy$ y $\frac{xy}{\sqrt{x^2+y^2}}$ . La primera es siempre mayor que la segunda rama de $f$ y este último siempre más pequeño; todos tienen límite $0$ por lo que la función es continua en $(0,0)$ .

Ahora tengo que calcular la primera derivada parcial para $x$ de $f$ en $(0,0)$ . Utilizando la definición, tenemos

$$\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}$$

Ahora, $f(0,0)$ es sólo $0$ et $f(t,0)$ est $0$ también. Así que tenemos

$$\lim_{t\to 0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{0}{t}$$

que no tiene mucho sentido, al menos para mí, y no parece haber una forma obvia de resolver este límite sin encontrar la expresión completa.

Así que empecé a buscar una expresión para la derivada parcial utilizando la definición de límite. Debería ser

$$\frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)=\lim_{t\to 0}\frac{f(x_0+t,y_0)-f(x_0,y_0)}{t}$$

pero eso parece impresionantemente difícil de calcular. Si algo de esto es correcto, tenemos

$$\lim_{t\to 0}\frac{\frac{(x+t)y}{|x+t|+|y|}-\frac{xy}{|x|+|y|}}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{(x+t)y}{t(|x+t|+|y|)}-\frac{xy}{t(|x|+|y|)}$$

y tras unas cuantas "simplificaciones" (que no simplifican nada), obtenemos

$$\lim_{t\to 0} \frac{xy|x|+ty|x|+xy|y|+ty|y|-xy|x+t|-xy|y|}{t(|x+t|+|y|)(|x|+|y|)}$$

y ahí es donde se convierte en un gran lío. Creo que separar $|x+t|$ ayudaría un montón pero no tengo ni idea de cómo justificar eso. Esta clase de análisis me está matando, incluso si usted no puede ayudarme con el problema sólo recomendar un buen libro de texto ayudaría una tonelada.

Aquí está la función trazada en WA: https://www.wolframalpha.com/input/?i=f(x,y)+%3D+(xy)%2F(%7Cx%7C%2B%7Cy%7C)

Answer 1

Muy A grandes rasgos, la derivada parcial $\frac{\partial f}{\partial x}$ representa el cambio en el valor de $f$ en respuesta a un cambio muy pequeño en el valor de $x$ , suponiendo que $y$ es fijo. Obsérvese que si fijamos $y = 0$ entonces $$ f(x,0) = \frac{x\cdot 0}{|x|+|0|} = 0. $$ Por lo tanto, si $y=0$ la función es constante con respecto a $x$ (e igual a cero). Por lo tanto, un pequeño cambio en $x$ llevará a sin cambios en el valor de $f$ . Por lo tanto, es razonable esperar que la derivada parcial con respecto a $x$ será cero.

Más formalmente, $$ \frac{\partial f}{\partial x}(x,0) = \lim_{t\to 0} \frac{f(t,0) - f(0,0)}{t} = \lim_{t\to 0} \frac{0}{t} = 0, $$ que es lo que (heurísticamente) esperamos.

Answer 2

Creo que tu confusión es cuando dices lo del límite $$\lim_{t\to0}\frac{f(t,0)-f(0,0)}{t}=\lim_{t\to 0}\frac{0}{t}$$ que is not really meaningful . Nótese que en este límite " $t\to0$ " significa que $t$ se acerca a cero pero no es igual a cero . Así, para cada valor admisible de $t$ la expresión $\displaystyle\frac{0}{t}$ está perfectamente bien definida, y de hecho es igual a cero - lo que hace que el límite sea perfectamente significativo y de hecho igual a $0$ también.