¿Viola la mecánica cuántica el principio de equivalencia?

Question

Tengo una pregunta sobre el principio de equivalencia en la mecánica cuántica.

Consideremos una ecuación de Schroedinger bajo campo gravitatorio $$\left[ - \frac{1}{2m_I} \nabla^2 + m_g \Phi_{\mathrm{grav}} \right]\psi = i \partial_t \psi \tag{1} $$

donde $m_I$ y $m_g$ son las masas de inercia y gravitatoria, respectivamente. $\hbar=1$ se adopta la unidad.

Al contrario, como la mecánica clásica $$ m_I \frac{ d^2 x}{ dt^2} = m_g g \tag{2}$$ podemos elegir una transformación $x'=x-\frac{1}{2} g t^2$ para "apagar" la gravedad. Pero parece que la transformación no apagará la gravedad en la mecánica cuántica, Ec. (1). ¿Significa esto que la mecánica cuántica rompe el principio de equivalencia? (Puedo pensar en el Hamiltoniano relativista, pero no resolverá el problema, por lo que veo)

Answer 1

El Principio de Equivalencia Débil, o WEP por sus siglas en inglés, establece que bajo condiciones iniciales idénticas, el movimiento de las partículas de diferentes masas en un campo gravitatorio determinado es idéntico. O, en otras palabras, no hay efectos físicos que dependan de la masa de una partícula puntual en un campo gravitatorio externo. Esto no es más que la equivalencia entre la masa inercial y la gravitatoria.

A continuación presentaré algunos resultados que se sitúan a ambos lados del campo (que se viola o no se viola el PME). Por lo que he leído, el consenso en este asunto es que el principio de equivalencia en el sentido general en violado. Sin embargo, hay casos especiales en los que el principio es válido para la mecánica cuántica (uno de esos casos se presenta a continuación).

Tomemos la ecuación de Schrodinger para una partícula de masa inercial $m_i$ y la masa gravitacional $m_g$ que está cayendo hacia la masa $M$ .

$$i\hbar\partial_{t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m_{i}}\nabla^{2}\psi - G\frac{m_{g}M}{r}$$

Es evidente que incluso para $m_{i}=m_{g}$ la masa no se cancela en las ecuaciones de los movimientos. Este hecho es aún más evidente para $m_{i}=m_{g}=m$ en un campo gravitatorio uniforme en el $x$ dirección, de la aceleración $g$

$$i\hbar\partial_{t}\psi=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{x}^{2}\psi +mgx\psi$$

cuya solución dependerá paramétricamente de $\hbar/m$ . En este punto podríamos decir que las funciones de onda, los propagadores y las distribuciones de densidad de probabilidad violan el PME. También, Rabinowitz en los 90's examinó la posibilidad de átomos ligados gravitacionalmente, y encontró que la masa, $m$ permanece en las ecuaciones de movimiento cuantizadas (aunque la masa se anula en las ecuaciones de movimiento clásicas). Es de esperar que $m$ para anularse al promediar sobre estados con números cuánticos grandes, pero eso los sitúa efectivamente en el continuo clásico.

Sin embargo, P.C. Davies propone en este artículo el siguiente experimento:

Consideremos una variante del simple experimento de Galileo de Galileo, en la que partículas de diferente masa se proyectan verticalmente en un campo gravitatorio con una velocidad inicial dada $v$ . Clásicamente, se predice que las partículas devolverán un tiempo $2v/g$ más tarde, habiendo subido a una altura $x_{max}=v^{2}/ 2g$ . Pero las partículas cuánticas son capaces de hacer un túnel en la región clásicamente prohibida por encima de xmax. Además, la profundidad del túnel depende de la masa. Por lo tanto, cabe esperar un "retraso cuántico" pequeño, pero muy significativo, dependiente de la masa, en en el tiempo de retorno. Este retraso representaría una violación del principio de equivalencia.

Al final de la sección $3$ demuestra que el valor de la expectativa para el tiempo de giro de una partícula cuántica es idéntico, cuando la medición se realiza lejos del punto de giro clásico. En este sentido, el PME es válido para una partícula cuántica.

Este resultado sugiere que un potencial gravitatorio uniforme -que se aplica localmente a cualquier field gravitacional no singular- tiene una propiedad especial en relación con la mecánica cuántica, a saber, que el tiempo esperado para la propagación de una partícula cuántica en este fondo es idéntico al tiempo de propagación clásico. Esto puede considerarse como una extensión del principio de equivalencia al régimen cuántico (para una discusión más amplia de lo que implica por un "principio de equivalencia cuántica"). Esta propiedad especial parece depender de la forma del potencial; no se aplica en el caso de un potencial agudo o un potencial exponencial.

Por último, me gustaría señalar lo siguiente artículo donde los autores calculan bajas correcciones a la sección transversal para la dispersión de diferentes partículas cuánticas por un campo gravitatorio externo (tomado como un campo externo en gravedad linealizada). Muestran que, en primer orden, las secciones transversales dependen del espín. En segundo orden, dependen también de la energía. Así, demuestran que el principio de equivalencia se viola en ambos casos.

Answer 2

Tomaré el principio de equivalencia débil en la formulación dada en Página de Wikipedia :

Los efectos locales del movimiento en un espacio curvo (gravitación) son indistinguibles de los de un observador acelerado en un espacio plano, sin excepción.

Consideremos una función de onda $\Psi(r,t)$ y supongamos que la energía potencial es constante. Ahora cambiemos $^\dagger$ a un marco de referencia, que se mueve con respecto al original con velocidad $At$ con $A$ constante:

$$\Psi'(r,t)=\Psi\left(r-\frac{At^2}2,t\right)\exp\left[\frac {im}\hbar\left(Atr-\frac {A^2t^3}6\right)\right].$$

$\Psi'(r,t)$ es la función de onda en aceleración (con aceleración $A$ ).

Si suponemos la ecuación de Schrödinger para la partícula libre

$$i\hbar \partial_t\Psi(r,t)=-\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{rr}\Psi(r,t),$$

podemos obtener la energía potencial efectiva para el $\Psi'(r,t)$ función de onda:

$$U_\text{eff}(r)=\frac{i\hbar \partial_t\Psi'(r,t)+\frac{\hbar^2}{2m}\partial_{rr}\Psi'(r,t)}{\Psi'(r,t)}=-mAr.$$

Pero esto no es más que energía potencial en un campo gravitatorio uniforme:

$$U_\text{grav}(r)=mgh,$$

donde utilizamos $g=-A$ es la aceleración de la caída libre y $h=r$ es la altura.

¿Qué conseguimos con esto? En efecto, parece que el movimiento en marco uniformemente acelerado es indistinguible del movimiento en potencial gravitatorio, es decir se cumple el principio de equivalencia débil si tomamos la formulación que he citado anteriormente.

¿Qué es lo que hacen, por ejemplo, papeles como este ¿hablar? Dicen de la "fuerte violación cuántica del principio de equivalencia débil". La respuesta, según me parece, es que confunden el principio de equivalencia débil con los efectos dependientes de la masa. Veremos, la mayor parte de la discusión es sobre la dependencia de algunas propiedades de los paquetes de ondas de la masa de las partículas. Pero esto no tiene nada que ver con el principio de equivalencia débil: tenemos un ensanchamiento de los paquetes de ondas dependiente de la masa incluso sin ninguna gravitación, ¡incluso en el espacio libre!

Tal vez haya alguna formulación no equivalente del principio de equivalencia débil, que habla de los efectos dependientes de la masa en los casos en los que la mecánica clásica no los tiene, pero entonces no debería estar relacionado con la gravedad y la teoría de la relatividad general en absoluto.

_{$^\dagger$ El cambio es similar al descrito, por ejemplo, en Landau, Lifshitz "Quantum mechanics. Teoría no relativista" - en un problema después de $\S$ 17, pero teniendo en cuenta la velocidad dependiente del tiempo (es decir, sin olvidar integrar $\frac12mV^2$ con respecto al tiempo en lugar de simplemente multiplicar por $t$ ).}

Answer 3

El problema sólo surge cuando se consideran los estados propios de energía, que están completamente deslocalizados. Uno de los principios del principio de equivalencia es que la equivalencia entre sistemas gravitacionales y marcos acelerados sólo es cierta localmente . Todo lo que afirma el principio de equivalencia es que existe una vecindad en cualquier punto lo suficientemente pequeña como para que los sistemas físicos sean equivalentes. Pero un estado propio de energía dependerá de la física en el exterior cualquier barrio de este tipo. Por ello, los estados propios, al ser estados altamente deslocalizados, no necesitan satisfacer el principio de equivalencia de ninguna manera

Una explicación más detallada sería la siguiente: La transformación induce un Hamiltoniano en el marco acelerado. El principio de equivalencia dice que si la localidad es lo suficientemente pequeña, no se puede hacer una medición dentro de la localidad que me diga si estoy en un potencial gravitatorio o en un marco acelerado. Pero, por definición, no puedes hacer mediciones perfectas de momento o energía dentro de dicha localidad porque tu localidad tiene una extensión en el espacio, por lo que la posición no puede estar fuera de esa extensión. Por lo tanto, ninguna medición posible dentro de la localidad puede distinguir los estados propios extendidos de la energía o el momento. Si los paquetes son más estrechos que la anchura de la localidad, el principio de equivalencia debería ser válido. Si los paquetes son más anchos que la localidad, el principio de equivalencia NO debería cumplirse

Answer 4

Si la Mecánica Cuántica viola el principio de equivalencia entonces esto significaría que la teoría de Einstein es errónea. Pero sabemos por los experimentos (Gravity Probe B...etc) que la teoría de Einstein no está equivocada. Por lo tanto, la Mecánica Cuántica no viola la teoría de Einstein por lo que no viola el principio de equivalencia.