Cada función de discretos métrica de un espacio a otro espacio métrico es uniformemente continua

Question

Mi solución:es bastante sencillo gráficamente pero sólo quiero para asegurarse de si es lo suficientemente riguroso.

Supongamos $X$ es un discreto espacio métrico y $f$ ser cualquier función de $X$ $Y$donde $Y$ es cualquier otro espacio métrico. Deje $d_{x}$ $d_{y}$ el valor de las métricas en espacios métricos $X$ $Y$ respectivamente.

Si $p,q\in X, p=q$, $d_{x}(p,q)=0<\delta$ cualquier $\delta>0$. Si $p,q\in X, p\neq q$,$d_{x}(p,q)=1$.

La elección de $\delta=2$, tenemos $d_{y}(f(p),f(q))<\epsilon$, $\forall \epsilon>0$.

Por lo $\forall \epsilon>0,$ tenemos $\delta>2$, de tal manera que $d_{x}(p,q)<\delta$ implica $d_{y}(f(p),f(q))<\epsilon$.

Por lo tanto, cualquier función de un espacio métrico discreto a cualquier otro espacio métrico es uniformemente continua.

Por favor, sugiera si es correcto y lo suficientemente riguroso.

Answer 1

La elección de $\delta=2$, tenemos $d_{y}(f(p),f(q))<\epsilon$, $\forall \epsilon>0$.

No, eso es malo, si usted elige $\delta = 2$ $p$ $q$ puede ser de CUALQUIERA de los puntos en $X$, debido a que la distancia entre dos puntos cualesquiera en $X$ es siempre menor que 2. Así que no te dice nada acerca de la $d(f(p), f(q))$ a todos. Si establece $\delta<1/2$ entonces fuerza a $p=q$, lo que obviamente $f(p)=f(q)$, por lo que tiene continuidad uniforme.

Answer 2

Sugerencias:

Para cualquier $\epsilon>0$, se puede elegir que $\delta=\frac12$, entonces para cualquier $x,y \in X$ si $|x-y|<\delta$,$x=y$, y, por tanto,$|f(x)-f(y)|=0<\epsilon$, lo que muestra que $f(x)$ es uniformemente continua.

Answer 3

Para mostrar que $f$ es continua:

Discretos métrica induce la topología discreta, entonces preimagen de cualquier conjunto abierto en $Y$ se abrirá automáticamente en $X$ $f$ es continua. (Para el uniforme de la continuidad de utilizar el hecho de que los únicos que están abiertos a Pablo y Suzu. Hirose señalado anteriormente.)