Frobenius automorphism y no dividir Cartan subgrupo de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$

Question

Para la integridad puedo dar algunas definiciones. Deje $p$ un número primo y considerar la posibilidad de $V$ 2-dimensional $\mathbb{F}_p$-espacio vectorial. Considere la posibilidad de $k$ un sub-álgebra de $\mathrm{End}(V)$ que es un campo de $p^2$ elementos. A continuación, $C=k^* \subset \mathrm{GL}_2(V)\simeq\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ se llama un no-split Cartan subgrupo.

Deje $\mathcal{N}$ ser el normalizador de la $C$$\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$. A continuación, cada una de las $s \in \mathcal{N}$ inducir un automorphism de $k$ se define como $$ x \mapsto sxs^{-1}$$ En particular, el núcleo del mapa $\mathcal{N} \longrightarrow Aut(k)$$C$. Ahora, $k$ sólo tiene un no-trivial automoprhism que es el Frobenius automorphism $\sigma: a \mapsto a^p$, $a \in k$.

Así, puedo decir que cada una de las $s \in \mathcal{N} \setminus C$ tiene la forma $\sigma x$$x \in C$?

La idea de que el hecho de que $\sigma$ es invertible $\mathbb{F}_p$-lineal mapa de $\mathbb{F}_{p^2} \simeq k$, por lo tanto puede representarse como una matriz de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ cuando elegimos una base para $\mathbb{F}_{p^2}$$\mathbb{F}_p$.

Answer 1

Ok, creo que con este trabajo. Pero se puede escribir mejor.

El Frobenius automorphism de $\mathbb{F}_{p^2}$ es invertible $\mathbb{F}_p$-lineal mapa. Si fijamos una base de $\mathbb{F}_{p^2}$$\mathbb{F}_p$, $\sigma$ es representable como una matriz de $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$. Se denota con a $S_F$ de los asociados a la matriz de $\sigma$. Fijar un $s \in \mathcal{N}$, como hemos visto, se induce un automorphism $\varphi_s$$k$, en particular, que es inducida por la Frobenius automorphism de $\mathbb{F}_{p^2}$. Por lo $\varphi_s$ actúa en $C$ como la conjugación por $S_F$. Luego tenemos a $sxs^{-1}=S_F^{-1}x S_F$ todos los $x\in C$. Por lo tanto el elemento $S_F s$ conmutan con todos los elementos de a $C$. Sin embargo $C$ coincide con su centralizador en $\mathrm{GL}_2(\mathbb{F}_p)$ y desde $s \notin C$, entonces es en el no-trivial coset de $C$ en el subgrupo $<C,S_F>$.