Condiciones bajo las cuales el Límite de la "Medida $\to 0$" $0$

Question

Deje $\mu$ ser una medida de probabilidad en $X$, por lo que el $\int_X \mu(dx) = 1$.

Decir bajo qué condiciones sobre la función de $f: X \rightarrow \mathbb{R}_{> 0} \ $ (que es medible e integrable) tenemos que

$$\lim_{\mu(A) \rightarrow 0 } \int_A f(x) \mu(dx) = 0$$

Answer 1

Otra forma de ver esto es tener en cuenta que si $A_n$ es una secuencia de conjuntos medibles con $\mu(A_n) \to 0$, $f 1_{A_n} \to 0$ en la medida. Desde $|f 1_{A_n}| \le |f|$ $f$ es integrable, una versión adecuada del teorema de convergencia dominada muestra que $\int 1_{A_n} f\,d\mu \to 0$.

Answer 2

De hecho, estas condiciones (medibles y integrables) son ya suficientes. De hecho, vamos a $A$ medibles. Tenemos por un determinado $n$, denotando $E_n:=\left\{x,f(x)\leq n\right\}$: $$\begin{align} \int_A f(x)d\mu(x)&=\int_{A\cap E_n} f(x)d\mu(x)+\int_{A\cap E_n^c} f(x)d\mu(x)\\ &\leq n\mu(A)+\int_{E_n^c} f(x)d\mu(x)\\ &\leq n\mu(A)+\sum_{k=n}^{+\infty}(k+1)\mu(k\leq f < k+1), \end{align}$$ y desde que la serie se $\sum_{k=1}^{+\infty}k\mu(k\leq f<k+1)$ es convergente, por lo que es la serie $\sum_{k=1}^{+\infty}(k+1)\mu(k\leq f<k+1)$, de ahí que podamos, dado $\varepsilon>0$, encontramos un $n$ tal que $\sum_{k=n}^{+\infty}(k+1)\mu(k\leq f<k+1)\leq \frac{\varepsilon}2$. A continuación, para cada una de las $A$ medible tal que $\mu(A)\leq \frac{\varepsilon}{2n}$,$\int_A f(x)d\mu(x)\leq \varepsilon$.