Diagramas de Locus Raíz - "Punto de ruptura"

Question

Digamos que tenemos un diagrama de lugar de la raíz con n polos y m ceros. Y determinamos que el lugar de la raíz en el eje real se encuentra entre dos de estos polos y se separa del eje real y tiende al infinito en algún lugar entre estos puntos.

Existen fórmulas para determinar el ángulo que forma la asíntota con el eje real, así como el punto en el que el lugar de la raíz "se separa" del eje real.

He observado en algunos ejemplos que el punto en el que se rompe el lugar de la raíz suele estar a medio camino entre los dos polos de los que hablaba. Pero a veces no es así. ¿Existe una regla general para determinar cuándo es este el caso? Esto haría que dibujar los diagramas de lugar de la raíz fuera mucho más rápido y me daría más intuición sobre el tema.

Esto puede parecer un poco confuso, http://www.facstaff.bucknell.edu/mastascu/econtrolhtml/RootLocus/RLocus1ARCADE.html tiene algunos ejemplos de diagramas de localización de raíces. Los ejemplos "Tres polos reales" y "Tres polos, un cero" muestran lo que quería decir sobre que el "punto de ruptura" está exactamente a mitad de camino entre dos polos, mientras que mi libro de texto utiliza largas fórmulas para determinar un "punto de ruptura" que no está a mitad de camino entre los dos polos.

Answer 1

Intuitivamente puedes pensar que los polos de lazo abierto tienden a "empujar" y los ceros a "tirar" de los loci de las raíces. Supongamos que sólo tienes dos polos reales, entonces las raíces se rompen exactamente en la mitad de su recorrido, como en el Sistema 2 de tu enlace. Si añades otro polo real como en el Sistema 3, empuja las raíces, de ahí el punto de ruptura.

Supongamos que tiene polos reales en -1, -3 y un cero en -5. Entonces el cero tiende a tirar de las raíces y, de hecho, se producirá una circunferencia con centro en -5 y radio algo inferior a 3. Por lo tanto, el punto de ruptura estará entre -1 y -3, pero más cerca de -3 debido al efecto del cero. Por supuesto, habrá otro punto de ruptura cerca de -8.

En el Sistema 4, el cero en -4 está más cerca de otros polos que el polo en -5, por lo que tira de las raíces "más fuerte" que el polo empuja. Pero sus efectos se igualarán en el infinito, por lo que la asíntota tiene un ángulo de 90 grados. Observa que el ángulo de las asíntotas está directamente determinado por la diferencia entre el número de raíces y de ceros.