Ejemplo tensor de la representación

Question

El estudio de la Romana Avanzados de Álgebra Lineal me atoré con la siguiente exercie, Quiero encontrar dos espacios vectoriales $U$ $V$ y un vector distinto de cero $x\in U \otimes V$ que tiene al menos dos distintas(no incluyendo el orden de los términos) las representaciones de la forma:

$$x= \sum _{i=1}^{n} u_i \otimes v_i$$

donde el $u_i$ $v_i$ son linealmente independientes en $U$$V$.

Answer 1

Creo que esto va a hacer: tome $U = \Bbb R^2, V = \Bbb R^2$. Tenemos $$ e_1 \otimes e_1 + (e_1 + e_2) \otimes e_2 = e_1 \otimes (e_1 + e_2) + e_2 \otimes e_2 $$ O, más interesante ejemplo $$ (e_1 + e_2) \otimes e_1 + (e_1 - e_2) \otimes e_2 = e_1 \otimes(e_1 + e_2) + e_2\otimes (e_1 - e_2) $$