Simple Doble De La Suma

Question

He visto cómo la anidación de las obras con un simple $(i+j)$, pero este problema a continuación se disparo a mí. Se debe a que de los multiplicadores o porque cada uno de ellos comienza en cero pero tengo 60 años, y la respuesta creo que es de 78. No está seguro de que me falta de los últimos 18.

$$\sum_{i=0}^2\sum_{j=0}^3(2i+3j)$$

Para el interior de la suma, que se me ocurren $18$ $((0+0) + (0+3) + (0+6) + (0+9))$

Yo tapón que en el exterior suma $((0+18) + (2+18) + (4+18))$

¿Qué estoy haciendo mal? Este discreto libro de matemáticas es terriblemente corto en su explicación (que sólo habla de la doble sumas de dinero en forma de producto) y lanza bolas curvas a la derecha del palo. No es de mucha ayuda a construir la confianza en el material.

Gracias por la ayuda y el lugar para ventilar!

Answer 1

Lo que están haciendo mal es que usted necesita para hacer el interior de la suma de tres veces, una vez para cada valor de $i$. Y al $i$ cambios, el valor del interior de la suma de los cambios por más que $2i$: se añaden $2i$ cuatro veces (una vez para cada uno de $j=0$, $1$, $2$, y $3$), por lo que terminan agregando $8i$, no sólo a $2i$.

Al $i=0$, el interior de la suma es $18$, como calcular. Entonces, cuando $i=1$, el interior de la suma es $(2+0) + (2+3) + (2+6) + (2+9) = 8+18 = 26$, no $2+18=20$, como calcular.

Luego, cuando $i=2$, el interior de la suma es $(4+0)+(4+3) +(4+6) + (4+9) = 16+18 =34$ (no, como se compute, $22$).

Por lo que el valor total es la suma de estas tres cantidades, $18+26+34 = 78$.

Para hacerlo correctamente, simbólicamente, se puede proceder de la siguiente manera: el interior de la suma es: $$\begin{align*} \sum_{j=0}^3(2i+3j) &= \sum_{j=0}^32i + \sum_{j=0}^33j\\ &= 2i\sum_{j=0}^31 + 3\sum_{j=0}^3 j\\ &= 2i(4) + 3\left(0+1+2+3\right)\\ &= 8i + 18. \end{align*}$$ Así que, a continuación, el exterior de la suma es: $$\begin{align*} \sum_{i=0}^2\left(\sum_{j=0}^3(2i+3j)\right) &= \sum_{i=0}^2(8i+18)\\ &= \sum_{i=0}^28i + \sum_{i=0}^218\\ &= 8\sum_{i=0}^2i + 18\sum_{i=0}^21\\ &= 8(0+1+2) + 18(3)\\ &= 24 + 54\\ &= 78. \end{align*}$$

Answer 2

Sólo pula:

$((0+0)+(0+3)+(0+6)+(0+9))+((2+0)+(2+3)+(2+6)+(2+9))+((4+0)+(4+3)+(4+6)+(4+9)) = 78$