De acuerdo a $\lim_{n\to\infty}\frac{\sum_{k=1}^na_k}{n}=0,\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0,$ podemos conseguir $\lim_{n\to\infty}a_n=0?$

Question

Supongamos que $\{a_n\}$ es una verdadera secuencia con $$\lim_{n\to\infty}\frac{\sum\limits_{k=1}^na_k}{n}=0,\lim_{n\to\infty}(a_{n+1}-a_n)=0,$$ then can we get $$\lim_{n\to\infty}a_n=0?$$

Este simple problema ha caído en mis nervios durante dos días, he tratado de demostrar que es verdad, sin embargo, no hay nada que yo pueda tener.

Answer 1

La propuesta teorema parece ser falsa. Creo que la serie $a_k = \sin( \sqrt{k})$ es un contraejemplo.

La diferencia entre el $a_{n+1}$ $a_n$ es en la mayoría de las $|\sqrt{n+1} -\sqrt{n}|$ debido a que la derivada del pecado está entre -1 y 1, por lo que tiende a cero.

Es claro que la serie $a_n$ no tienden a cero, ya que sus valores de enfoque 1 y -1 terminado para siempre. Queda por demostrar que la media de $\{a_k\}$ tiende a cero. Esta proeza técnica es más allá de mí en este momento, me temo.