Demostrar $A^TA$ es similar a $AA^T$

Question

Deje $A$ ser una matriz de nxn en $R^{nxn}$.\ Demostrar $A^TA$ es similar a $AA^T$. Podría alguien darme una pista acerca de cómo probar esto? Cualquier ayuda será apreciada. (He intentado usar vectores propios, pero no sé si esas matrices son diagonalizable)

Answer 1

En caso de que se pueda utilizar la descomposición en valores singulares (SVD), Vamos a $A=U\Sigma V^T$ ser la enfermedad vesicular porcina. A continuación,$AA^T = U\Sigma^2 U^T$$A^TA = V\Sigma^2 V^T$. Desde $U$ $V$ son ortogonales, la similitud de la siguiente manera.

Answer 2

Supongamos $\lambda \neq 0$ es un autovalor de a $AB$ con autovector $v$, luego $B(ABv)= (BA) Bv= \lambda Bv$ $\lambda$ es un autovalor de a $BA$ (tenga en cuenta que $Bv \neq 0$, de lo contrario $\lambda =0$).

Por lo tanto $AB$ $BA$ tienen el mismo distinto de cero autovalores.

Desde $AA^T$ $A^TA$ son reales simétricas, pueden ser diagonalised con ortogonal de matrices. Se desprende de la declaración anterior (desde las formas geométricas y algebraicas de multiplicidades coinciden) que $AA^T$ $A^TA$ han los mismos autovalores.

De ahí que podamos encontrar $U,V$ ortogonal tal que $AA^T U = U \Lambda$ $A^TA V = V \Lambda$ donde $\Lambda$ es una diagonal la matriz de los valores propios. Por lo tanto $A A^T = U V^T A^T A V U^T = (V U^T)^T A^T A (V U^T)$ $AA^T$ $A^TA$ son similares.

Answer 3

Sugerencia de inducción puede ser utilizado o uso de la propiedad de $|A|=|A^{T}|$.