conmutativo el diagrama

Question

Vamos

$$\begin{array} AA & \stackrel{f}{\longrightarrow} & B \\ \downarrow{h} & & \downarrow{h'} \\ C & \stackrel{g}{\longrightarrow} & D \end{array} $$

ser un conmutativo el diagrama de $\mathcal{O}$-módulos ($\mathcal{O}$ dominio principal) con $f$ $g$ surjective y $coker(h) \simeq coker(h')$. Suponga que se nos da $b \in B$, $d \in D$ y $c \in C$ tal que $h'(b) = d$$g(c) = d$. Supongamos también que el $c = h(a')$ algunos $a' \in A$. ¿Existe $a \in A$ tal que $f(a)=b$$h(a)=c$ ?

[Editar] cambió $coker(h) = coker(h')$ a $coker(h) \simeq coker(h')$ como se sugiere por Tim Duff pregunta.

Answer 1

Esto es cierto si y sólo si $f : \mathrm{ker}(h) \to \mathrm{ker}(h')$ es surjective.

"$\Rightarrow$" Tome $b=c=d=0$.

"$\Leftarrow$" Compute $h'(f(a'))=g(h(a'))=g(c)=d=h'(b)$, lo $e = b-f(a')$ se encuentra en el núcleo de $h'$. Elija $u \in \mathrm{ker}(h)$$f(u)=e$. A continuación, $a=a'+u$ satisface $f(a)=b$$h(a)=c$. QED

Ahora, si $\tilde{h} : \mathrm{ker}(f) \to \mathrm{ker}(g)$ es el homomorphism inducida por $h$, entonces la Serpiente Lema de los rendimientos de una secuencia exacta

$0 \to \mathrm{ker}(\tilde{h}) \to \mathrm{ker}(h) \to \mathrm{ker}(h') \to \mathrm{coker}(\tilde{h}) \to \mathrm{coker}(h) \to \mathrm{coker}(h') \to 0$.

Por lo tanto, $\mathrm{ker}(h) \to \mathrm{ker}(h')$ es surjective iff el mapa de $\mathrm{coker}(\tilde{h}) \to \mathrm{coker}(h)$ es inyectiva, y $\mathrm{coker}(h) \to \mathrm{coker}(h')$ es un isomorfismo si el mapa de $\mathrm{coker}(\tilde{h}) \to \mathrm{coker}(h)$ es trivial. Por lo tanto se cumplen ciertas condiciones iff $\tilde{h}$ es surjective, pero ninguno de ellos implica la otra.

En lugar de $\mathsf{Mod}(\mathcal{O})$ podemos trabajar en cualquier abelian categoría.